Алгоритм исследования функции

1. Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва – те точки, в которых знаменатель обращается в 0).

2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.

3. Найти точки пересечения с осями координат.

4. Установить, является ли функция чётной или нечётной.

5. Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций).

6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности.

7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.

8. Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.

9. Построить график и асимптоты.

Пример 12.1. Провести полное исследование и построить график функции

Решение. Исследуем функцию согласно приведенному алгоритму.

1. Область определения функции. Так как функция представляет собой дробь, исследуем ее знаменатель. Знаменатель обращается в нуль в точке х = 1, исключаем эту точку из области определения функции

D(f) = (-∞;1)U(1;+∞).

Эта точка х = 1является особой точкой для функции.

2. Найдем пределы функции в точке разрыва слева и справа, ониравны бесконечности (рис. 75). Таким образом, можно сделать вывод о наличии вертикальной асимптоты х = 1.

Рис. 75. Пределы функции для определения вида асимптот

3. Определим точки пересечения графика функции с осями координат. Установим х = 0, при этом у = 8, т.е. в точке (0;8) график пересекает ось 0у. Для нахождения точек пересечения графика с осью 0х можно воспользоваться анализом «что-если?» и вычислить корни уравнения аналогично примеру 6.1, или, если это несложно, провести поиск корней уравнения аналитически. В нашем случае очевидно, что у = 0, если числитель х² + 8 = 0,откуда следует,что уравнение корней не имеет, т.к. выражение х² + 8 > 0 при любом х. Таким образом, точек пересечения графика с осью 0х нет.

4. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:

.

5. Функция не является тригонометрической, поэтому не является периодической.

6. Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Найдем первую производную функции (рис. 76), приравняем ее к нулю и найдем точки, в которых y′=0, используя надстройку Поиск решения, установив в качестве изменяемой ячейку, содержащую любое значение переменной х, например, 0 (А17); в качестве целевой функции ячейку, содержащую формулу вычисления функции в точке х (В17); в качестве ограничения условие, что D не превышает некоторое достаточно малое число (D17≤0,000000002). Таким образом, мы находим вторую критическую точку в х = -2– точку экстремума, в данном случае – точку минимума функции (производная меняет знак с минуса на плюс). Чтобы определить окрестность следующей критической точки (или определить точное отсутствие других критических точек) построим график функции в окрестностях первых двух критических точек, т.е., например, от -5 до +5 с шагом 0,5, удалив значение функции в точке разрыва х=1(рис. 75).Из анализа построенного графика очевидно, что существует еще одна точка экстремума в окрестности х=4.

Рис. 76. Производная функции в точкех=0

Введем в ячейку А21 в качестве х значение, близкое к 4, например, 3,5 и выполним поиск решения. В итоге получаем третью критическую точку х=4 – точку максимума функции. Исходя из графика и анализа значений производной, на отрезке (-∞; -2) функция убывает (производная отрицательна), на отрезках (-2; 1) и (1; 4) функция возрастает (производная положительна), а на отрезке (4; +∞) – опять убывает(производная отрицательна) (рис. 77).

Рис. 77. Предварительные расчеты для построения полного графика функции

7. Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости – вогнутости.Если критическаяточка дифференцируемой функциине является точкой экстремума, тогда она является точкой перегиба. Критическая точках=1 не является точкой экстремумат.к., анализируя данные таблицы, производная не меняет знак при переходе через точку х=1, следовательно, она является точкой перегиба. Анализируя график, делаем вывод, что функция вогнутая на промежутке (-∞; 1), выпуклая на промежутке (1; +∞).

8. Найдем пределы функции на ±∞, они равны бесконечности, таким образом, можно сделать вывод об отсутствии горизонтальных асимптот (рис. 77). Для ответа на вопрос о наличии наклонных асимптот найдем предел f(x)/x на ±∞, он равен -1. Предел f(x)–kxтакже равен -1, отсюда следует, что наклонная асимптота имеет вид: y = – x –1 (рис. 77).

9. Для построения графика с асимптотами изменим несколько в построенной таблице значения аргумента х(-15; +15) и соответственно функции f(х) и добавим данные для асимптот. Вновь введенные данные отобразим на графике, использовав из контекстного меню области построения графика пункт «Выбрать данные», где в окне «Выбор источника данных» воспользуемся кнопкой «Добавить» и по очереди добавим два ряда данных для каждой из асимптот. Табличные данные и график с асимптотами изображены на рисунке 78.

Рис. 78. Предварительные расчеты для построения полного графика функции