По теме «Случайные события»

Задача 1.

На экспертизу отправлено 4 подозрительные на брак изделия. А_i – событие, заключающееся в том, что i-е изделие бракованное. Найти выражения для событий:

A − только третье изделие бракованное;

B − два изделия бракованные;

C − по крайней мере два изделия бракованные;

D − хотя бы одно изделие бракованное.

Указать (если есть) несовместные события, противоположные события. Найти пару событий, среди которых одно влечет наступление другого.

Задача 2.

В организации некоторого мероприятия принимают участие 6 юношей и 4 девушки. Из них для встречи и регистрации участников мероприятия выбирают трех человек. Найти вероятности событий:

1) для встречи и регистрации выбраны 2 девушки;

2) для встречи и регистрации выбран хотя бы один юноша.

Задача 3.

Три стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень для 1-го равна 0,6, для 2-го – 0,8, для 3-го – 0,5. Найти вероятности событий:

1) какие-то два стрелка попали в мишень (событие А);

2) хотя бы один стрелок попал в мишень (событие В).

Задача 4.

Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60 % деталей отличного качества, а второй 84 %. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом (событие А).

Задача 5.

Пусть всхожесть семян ржи составляет 90 %. Чему равна вероятность того, что из 5 посеянных семян взойдет: а) ровно три (событие А); б) не менее двух (событие В)?

Образец выполнения

Контрольной работы.

Решение задачи №1.

Событие A заключается в том, что третье изделие бракованное, а остальные три изделия не бракованные, следовательно:

.

Событие B заключается в том, что бракованные какие-либо два изделия, следовательно:

    Событие C заключается в том, что или два, или три, или четыре изделия бракованные,  следовательно:

 - три изделия бракованные;

 - четыре изделия бракованные;

;

;

.

Событие D заключается в том, что или одно, или два, или три, или четыре бракованных изделия, следовательно:

 - одно изделие бракованное;

.

Выражение для события D можно найти иначе. Рассмотрим событие  - противоположное событию D.

 - нет ни одного бракованного изделия;

;

.

Несовместные события:  и ;  и ;

События, среди которых одно влечет наступление другого: ; ; ; .

Решение задачи №2.

 В данной задаче испытанием является отбор 3 человек из 10 человек.

Общее число n элементарных исходов равно числу сочетаний из 10 по 3:

.

 Так как это число конечно и все исходы равновероятны, то по классической схеме определения вероятности вероятность любого события равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов.

а) Найдем число исходов, благоприятствующих событию А.

 - число способов, которыми можно отобрать двух девушек из четырех, при этом еще одного человека следует выбрать из юношей.

 - число способов, которыми можно отобрать одного юношу из шести.

 - общее число элементарных исходов, благоприятствующих событию А (число способов, которыми можно выбрать из имеющихся 10 человек трех, среди которых две девушки и один юноша). Следовательно, 

.

б) Событие  - не выбрали ни одного мальчика – является противоположным событию , поэтому .

Найдем вероятность события . Число исходов, благоприятных событию  равно числу способов, которыми можно отобрать 3 девушек из 4, то есть равно числу сочетаний из 4 по 3 ( ), следовательно,

.

Искомая вероятность

.

Решение задачи №3.

Введем события, вероятности которых известны по условию задачи:

 – 1–й стрелок попал в мишень,

 – 2-й стрелок попал в мишень,

 - 3-й стрелок попал в мишень.

Тогда , , , , ,

.

1) Выразим событие через , , .

События  А заключается в том, что 1-й стрелок попал в мишень, 2-й стрелок попал в мишень, а 3-й не попал (событие ), или 1-й стрелок попал в мишень, 3-й попал, а 2-й стрелок не попал (событие ), или 2-й и 3-й стрелки попали в мишень, а первый не попал (событие ), поэтому

.

События , ,  являются несовместными, следовательно,

2)Выразим события В через , , .

Рассмотрим событие  - противоположное событию .  - ни один стрелок не попал в мишень. Выразим события  через , , , получим

.

В силу независимости событий , ,  (следовательно, и событий , , ) заключаем:

.

События  и  образуют полную группу событий, следовательно,

.

Решение задачи №4.

Решение.Введем гипотезы:

 - деталь произведена первым автоматом;

­ деталь произведена вторым автоматом.

Гипотезы  и  образуют полную группу событий. Так как первый автомат производит деталей вдвое больше второго, то

; .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, равна , если же она произведена вторым автоматом, то .

Вероятность того, что наудачу взятая деталь отличного качества по формуле полной вероятности равна

.

Искомая вероятность, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, находится по формуле Байеса:

.

Решение задачи №5.

Так как всхожесть каждого семени не зависит от всхожести остальных и вероятность всхожести всех семян одинакова, то применима формула Бернулли: , где , , .

а) .

б) Рассмотрим событие  (противоположное событию ) - взошло менее двух семян:

,

Тогда .