Задачи для аудиторного занятия.

№ 5.1Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания для первого 0,7, для второго 0,6. Найти вероятности следующих событий: А − мишень будет поражена; В − первый стрелок попадет, а второй нет; С − только один попадет в мишень.

№ 5.2Рабочий обслуживает три независимо работающих станка. Вероятность того, что в течение часа 1-й станок потребует внимание рабочего равна 0,5, 2-й станок − 0,6, 3-й станок − 0,8. Найти вероятности следующих событий: А − два станка потребуют внимания рабочего; В − все станки потребуют внимания рабочего; С − по крайней мене один станок потребует внимания рабочего.

№ 5.3Зашедший в магазин мужчина что-нибудь купит с вероятностью 0,9, зашедшая в магазин женщина − с вероятностью 0,2. У прилавка 1 мужчина и 2 женщины. Найти вероятность того, что хотя бы один человек что-нибудь купит.

№ 5.4Вероятность одного попадания в цель при одном выстреле из двух орудий равна 0,35. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,75.

№ 5.5Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Было произведено 4 выстрела. Найти вероятности следующих событий:

А − было только два попадания,

В − было не менее трех попаданий.

№ 5.6 Бросили игральную кость. Какова вероятность того, что выпало простое число очков, если известно, что число выпавших очков нечетно?

№ 5.7 Из шести мужчин и четырех женщин в командировку наудачу выбрали двух человек. Найти вероятности следующих событий: 1) вторым выбрали мужчину, если первой выбрали женщину, 2) вторым выбрали мужчину, если первым тоже выбрали мужчину.

№ 5.8 На пяти карточках написаны буквы К, К, А, А, С. Какова вероятность того, что при случайной раскладке этих карточек в ряд получится слово “КАСКА”?

№ 5.9Из 25 вопросов студент знает 20. Найти вероятность того, что из трех заданных студенту вопросов он знает: А − все три вопроса; В − хотя бы один вопрос.

№ 5.10В мешочке 10 шаров разного цвета. Наудачу по одному извлекаются 3 шара. Найти вероятность того, что последовательно появятся фиолетовый, красный, бежевый шары, если шары извлекаются:

1) без возвращения, 2) с возвращением в мешок.

№ 5.11 Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?

Задачи для самостоятельного решения.

№ 5.12Два друга сдают экзамен. Вероятность того, что первый сдаст экзамен, равна 0,8. Вероятность того, что второй сдаст экзамен, равна 0,6. Найти вероятности следующих событий:

А − только первый сдаст экзамен;

В – только один из них сдаст экзамен;

С − хотя бы один из друзей сдаст экзамен.

№ 5.13Из аэропорта вылетели 3 самолета. Вероятность того, что самолеты не отклонятся от намеченного пути, для них соответственно равна 0,8; 0,75, 0,7. Найти вероятности следующих событий:

А − только 1-й самолет не отклонится от намеченного пути;

В − два самолета будут придерживаться намеченного пути;

С − по крайней мере один самолет не отклонится от намеченного пути.

№ 5.14Из колоды в 36 карт последовательно вынимают 2 карты. Найти вероятность того, что второй раз была извлечена “картинка” (то есть валет, дама, король или туз), если известно, что первый раз была извлечена 1) “картинка”, 2) не “картинка”.

№ 5.15На семи карточках написаны буквы А, А, А, Б, Б, Н, Р. Какова вероятность того, что при случайной раскладке этих карточек в ряд получится слово “БАРАБАН”?

№ 5.16 Из 10 книг 6 в переплёте. Наудачу извлекают 4. Найти вероятность того, что

 1) все 4 в переплёте;

      2) хотя бы одна в переплёте.

№ 5.17Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,5, можно было ожидать, что ни на одной из граней не появится шесть очков?

№ 5.18Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий:

1) на каждой из выпавших граней появится три очка;

2) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков;

3) на двух выпавших гранях появится шесть очков, а на третьей грани − другое число очков;

4) на двух выпавших гранях появится одинаковое число очков, а на третьей грани − другое число очков;

5) на всех выпавших гранях появится разное число очков.

Формула полной вероятности.

Формула Байеса.

Теория и примеры.

Часто возникают ситуации, когда требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти только вместе с одним из несовместных событий H_i, образующих полную группу событий. События H_i в этом случае называют гипотезами.

Теорема. Вероятность события А, которое может произойти вместе с одной из гипотез , равна сумме произведений вероятностей каждой из этих гипотез на соответствующие им условные вероятности наступления события А.

Эту формулу называют формулой полной вероятности.

Предположим, что в результате опыта уже произошло событие А. Требуется определить с каким из событий  событие А наступило. Условные вероятности гипотез  вычисляют по формуле Байеса:

Пример 1.

Два работника изготавливают одинаковые детали. Более опытный изготавливает 60% всех деталей, менее опытный изготавливает 40% всех деталей. Вероятность того, что деталь будет стандартной, если ее изготовил более опытный работник 0,95. Вероятность того, что деталь будет стандартной, если ее изготовил менее опытный работник 0,85. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь оказалась стандартной.

Решение.

 Введем гипотезы:

H₁ − деталь изготовлена более опытным работником;

H₂ −деталь изготовлена менее опытным работником.

Вероятности гипотез равны: P(H₁)=0,6, P(H₂)=0,4.

Введем событие А − извлеченная наудачу деталь оказалась стандартной.

Вероятность того, что деталь стандартна, если изготовлена более опытным работником, равна

P(A|H₁)=0,95.

Вероятность того, что деталь исправна, если изготовлена менее опытным работником, равна

P(A|H₂)=0,85.

Искомая вероятность P(A)по формуле полной вероятности равна:

.

Пример 2.

В условиях примера 1 взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что деталь была изготовлена более опытным работником.

Решение.

Требуется найти условную вероятность того, что деталь изготовлена более опытным рабочим при условии, что она стандартна, то есть требуется найти вероятность P(H₁|A).

Воспользуемся формулой Байеса:

;

.