Теоремы умножения вероятностей.

Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что произошло первое событие:

Теорему можно обобщить на случай любого конечного числа множителей.

.

Если события A и В независимы, то , так как  и .

События  называются независимыми в совокупности, если каждое из них не зависит от появления любой комбинации остальных событий.

События  независимыми в совокупности, то вероятность их совместного появления вычисляется по формуле: 

.

Вероятность произведения зависимых событий  вычисляется по формуле:

Вероятность появления хотя бы одного события из совокупности  вычисляется по формуле

.

Пример 1.

На грузовой двор подают крытые двухосные и крытые четырехосные вагоны, а также полувагоны с вероятностями соответственно 0,25; 0,4; 0,35. Определить вероятность того, что очередным подадут крытый вагон.

Решение.

Подача крытого вагона означает подачу двухосного (событие А) или четырехосного (событие В) вагона. Эти события несовместны (так как вагоны подают по одному), поэтому применима теорема сложения вероятностей для несовместных событий:

.

Пример 2.

Из колоды в 36 карт наугад достают одну карту. Определить вероятность того, что этой картой окажется какая-то из четырех дам или карта черной масти.

Решение.

Обозначим А – событие, состоящее в том, что вынутой картой окажется дама; В – событие, состоящее в том, что из колоды извлекли карту черной масти. Тогда ; .

Заметим, что А и В – совместные случайные события. Извлеченной из колоды картой может оказаться, например, дама треф, и тогда произойдет и событие А, и событие В. Аналогичная ситуация для пиковой дамы. Поэтому .

В данном случае вероятность суммы двух событий вычисляется по общей формуле:

.

Пример 3.

В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров, во втором – 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара белые?

Решение.

Пусть А – появление белого шара из первого шара; В – появление белого шара из второго ящика.

Шанс вынуть белый шар из второго ящика не зависит от появления или не появления белого шара из первого ящика, следовательно, события А и В – независимые.

В каждом ящике по  шаров, но количество белых шаров разное: ; , поэтому

; .

Пример 4.

В корзине 4 синих и 3 красных шара. Два раза подряд наудачу вынимают шар (без возвращения в корзину). Найти вероятности следующих событий:

1) второй шар синий, если первый был красным;

2) второй шар синий, если первый был синим;

3) вынули два синих шара;

4) вынули два шара одного цвета;

5) вынули два шара разного цвета.

Решение.

Обозначим события:

 - первый раз вынули синий шар;

 - второй раз вынули синий шар;

 - первый раз вынули красный шар;

 - второй раз вынули красный шар.

Вычислим искомые вероятности.

1) Всего шаров 7, из них 4 синих и 3 красных. Если первый раз вынули красный шар, то осталось 6 шаров, из них 4 синих и 2 красных.

Следовательно, вероятность того, что вторым вынули синий шар, если первым был красный шар – это вероятность события  при условии, что событие  уже произошло, и является условной вероятностью:

.

2) Если первым вынули синий шар, то произошло событие . При этом уменьшилось общее количество шаров (стало 6) и количество синих шаров (стало 3). Вероятность вынуть вторым синий шар при условии, что первым был также синий шар, равна:

.

3) Вынуть два синих шара подряд означает совмещение событий  и : . Эти события зависимы. В п. 1 и п. 2 показано, что вероятность события  зависит от того, какое событие ему предшествовало.

Вероятность появления двух синих шаров (т. е. вероятность события А) найдем по теореме умножения вероятностей для зависимых событий:

.

4) Вынуть два шара одного цвета (событие F) означает появление двух синих шаров (событие ) или появлении двух красных шаров (событие ). События А и В несовместны: появление одного из них  исключает появление другого.

Вероятность появления двух шаров одного цвета определим по теореме сложения вероятностей:

.

5) Вынуть шары разного цвета (событие R) означает вынуть первый шар синий, а второй – красный (событие ) или вынуть первый шар кранный, а второй синий (событие ). События M и N несовместны. По теореме сложения вероятностей:

.

Пример 5.

Два баскетболиста делают независимо друг от друга по одному броску в корзину. Вероятность попадания для 1-го баскетболиста 0,8, для 2-го баскетболиста 0,7. Найти вероятности следующих событий:

1) А – 1-й попал, 2-й не попал;

2) В – только один попал;

3) С – ни один не попал;

4) D – хотя бы один попал.

Решение.

Введем события, вероятности которых известны по условию задачи:

 – 1–й баскетболист попал в корзину,

 – 2-й баскетболист попал в корзину.

Тогда , , , .

1) Выразим событие через  и :

.

Так как события  и  (следовательно, и события  и ) являются независимыми, то

.

2) Выразим события В через  и . Событие  заключается в том, что 1-й баскетболист попал в корзину, а 2-й не попал (событие ), или 2-й баскетболист попал в корзину, а 1-й не попал (событие , поэтому

.

События  и  являются несовместными, следовательно,

.

3) Выразим событие  через  и .

.

В силу независимости событий  и  (следовательно, и событий  и  заключаем:

.

4) Событие  представляет собой сумму событий  и :

.

По теореме сложения вероятностей, учитывая, что  и  являются независимыми, получаем:

.

Вероятность события можно находить иначе.

Событие  - попал хотя бы один, подразумевает, что 1-й попал, 2-й промахнулся (событие ), или 1-й промахнулся, 2-й попал (событие , или оба попали (событие ). События ,  и  несовместны.

Искомая вероятность определяется по теореме сложения вероятностей:

.

Еще один способ определения  основан на том, что события  и  являются противоположными: . Поэтому

.

Пример 6.

В коробке 12 деталей, причём 8 из них стандартные. Наудачу извлечены 3 детали. Найти вероятность события А – все три извлеченные детали являются стандартными.

Решение.

Данная задача уже была рассмотрена при изучении темы «Классический подход к определению вероятности» (см. пример 3).

Рассмотрим другой способ решения этой задачи.

Введем события:

А₁ – первый раз извлечена стандартная деталь;

    А₂ – второй раз извлечена стандартная деталь;

А₃ – третий раз извлечена стандартная деталь.

Тогда событие А произойдет, если произойдут все три события А₁, А₂ и А₃, то есть

.

По теореме умножения вероятностей

.

Так как всего 12 деталей, и из них 8 стандартные, то

.

После извлечения одной стандартной детали останется 11 деталей, из которых 7 деталей стандартные, следовательно,

.

После извлечения стандартной детали во второй раз, останется 10 деталей, среди которых 6 стандартных, поэтому

Таким образом,

.