Геометрические вероятности.

При классическом определении вероятности не всегда можно найти значения m и n для вычисления вероятностей событий, поэтому непосредственно пользоваться формулой  не удается.

К испытаниям с бесконечным числом элементарных исходов (при условии, что сохраняется их равновозможность) применяется геометрический подход. С его помощью находят вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости, часть тела).

Геометрический подход заключается в следующем.

В качестве пространства  возможных исходов рассматривается некоторая область G (отрезок, плоская фигура, тело). В область G наудачу бросается точка. Предполагается, что: 1) брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G; 2) вероятность попадания брошенной точки в подобласть g пропорциональна размеру (длине, площади, объему) этой подобласти и не зависит ни от формы g, ни от ее расположения относительно G. Тогда вероятность события А – точка попала в подобласть g области G, равна:

Замечание 1.

Исходя из классического определения вероятности, если вероятность события рана 0, то событие является невозможным (ему не благоприятен ни один из элементарных исходов), а если вероятность события равна 1, то событие является достоверным (ему благоприятны все элементарные исходы). При геометрическом подходе, если вероятность события равна 0, то это не означает, что событие является невозможным, и если вероятность события равна 1, то это не означает, что событие является достоверным.

Пример 1.

В квадрат со стороной а вписан круг. Найти вероятность события А – точка, наудачу брошенная в квадрат, попадет в круг.

Решение.

Очевидно, имеет место геометрический подход к определению вероятности, поэтому

              так как радиус круга

Пример 2.

Найти вероятность того, что сумма двух выбранных наудачу положительных чисел не превышает 3, если каждое из них не больше 2.

Решение.

Пусть х – первое число, у – второе число. Так как выбранные числа положительны и не больше 2, то .

В ведем в рассмотрение прямоугольную систему координат xoy. Двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки квадрата OMNK со стороной, равной 2. Таким образом, квадрат можно рассматривать в качестве области G, координаты точек которой представляют собой все возможные значения обоих чисел x и y. Пар значений , т. е. элементарных исходов, будет бесчисленное множество, но все они равновозможны.

Поскольку сумма чисел не должна превышать 3, то .

Это неравенство выполняется для тех точек квадрата, которые лежат ниже прямой RS (уравнение этой прямой ). Получаем подобласть g (на рисунке заштрихована), координаты точек которой являются благоприятствующими значениями x и y. Искомая вероятность события А – «сумма двух положительных чисел не превышает 3, если каждое из них не больше 2», равна