Задачи для самостоятельного решения.

№ 4.10Отрезок АВ разделен точкой С так, что АС:СВ=2:3. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на отрезке АВ, попадет на отрезок СВ.

№ 4.11Внутрь круга радиусом r брошена точка. Найти вероятность того, что она попадет внутрь вписанного в круг квадрата.

№ 4.12На плоскость, которая разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 6 см, наудачу брошен круг радиусом 1 см. Найти вероятность того, что круг не пересечет ни одну из параллельных прямых.

№ 4.13Найти вероятность того, что сумма двух выбранных наудачу положительных чисел, каждое из которых не больше 3, не превышает 4.

№ 4.14Рабочий обслуживает 2 станка. Каждый из них требует внимания рабочего в течение 10 минут за один час. Найти вероятность того, что в течение часа один из станков потребует внимания рабочего в то время, когда он занят другим станком.

№ 4.15Точка (c;q) наудачу выбирается из квадрата с вершинами (0;0), (1;0), (1;1), (0;1). Найти вероятность того, что уравнение x²+cx+q=0 имеет два действительных корня.

№ 4.16Стержень длины l разломали случайным образом на три части. Найти вероятность того, что из получившихся трех частей можно составить треугольник.

№ 4.17При проверке качества изделий из 200 проверенных было обнаружено 10 бракованных. Найти относительную частоту появления брака.

Сложение и умножение вероятностей.

Теория и примеры.

Теорема сложения вероятностей.

 Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Если события А₁ и А₂ несовместны ( то есть Ø, следовательно, ), то вероятность суммы этих событий равна их вероятностей:

Теорему можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых. Так, для трех событий:

     Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

.

Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна 1, так как появление одного из событий полной группы достоверно:

.

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, так как противоположные события образуют полную группу:

.

Часто обозначают , , тогда .

Замечание 1.

При решении задач на отыскание вероятности события А бывает выгодно сначала вычислить вероятность события , а затем искомую вероятность:

.

Два события могут находиться между собой в таких взаимоотношениях, что наступление или не наступление одного из них влияет на вероятность наступления второго. В таких случаях говорят, что события являются зависимыми.

Два события называются независимымив данном испытании, если вероятность одного из них не зависит от того, появилось или не появилось другое событие.

Вероятность события B, вычисленная в предположении, что произошло событие А, называется условной вероятностьюи обозначается  или .

Если событие не зависит от события А, то .

Если событие В зависит от события А, то .