Задачи для аудиторных занятий.

№ 2.1 Даны элементы A, B, C, D, E. Сколько можно составить перестановок, размещений (без повторений) и сочетаний из пяти по три?

№ 2.2Сколько существует четырехзначных чисел, состоящих из цифр 2, 3, 6, 8, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

№ 2.3Брошены три игральные кости. Чему равно общее число исходов испытания?

№ 2.4Сколько можно передать сигналов с помощью флажков различного цвета, взятых по 2?

№ 2.5В торговом зале работает 8 продавцов-консультантов. Сколькими способами они могут распределить между собой обязанности кассира, упаковщика подарков и дежурного по залу?

№ 2.6Из восьми продавцов-консультантов нужно выбрать трех упаковщиков подарков. Сколько возможно вариантов выбора?

№ 2.7Сколькими способами можно распределить 8 человек в двух четырехместных купе?

№ 2.8Сколько существует трехзначных чисел без повторяющихся цифр?

№ 2.9Сколько существует пятизначных чисел, в записи 0; 1; 2; 3; 4 (возможны повторения)?

Задачи для самостоятельного решения.

№ 2.10 Брошены две игральные кости. Чему равно число возможных исходов испытания?

№ 2.11Из пункта А в пункт С можно добраться только через пункт В. Из А в В ведет 4 пути, из В в С – 6 путей. Сколько путей ведет из А в С?

№ 2.12Сколькими способами трехтомник стихотворений может быть расположен на книжной полке?

№ 2.13В президиум собрания избраны 5 человек. Из их числа необходимо выбрать председателя и секретаря. Сколько возможно вариантов?

№ 2.14В ящике 10 деталей одного вида. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика?

№ 2.15Сколько пятизначных чисел можно записать цифрами 0; 1; 2; 3; 4; 5 без повторений?

№ 2.16Сколько четырехзначных чисел можно составить, если все цифры в числе разные?

§3. Классический подход к определению вероятности. Элементы комбинаторики.

Теория и примеры.

Шанс появления случайного события оценивается численной величиной – вероятностью события. Существует несколько определений этого понятия.

Если элементарные исходы испытания несовместны, равновозможны и образуют полную группу, то пространство элементарных исходов является конечным. В этом случае справедливо классическое определение вероятности.

Вероятностью события А называют отношение числа m исходов, благоприятствующих появлению этого события, к числу n всех возможных элементарных исходов испытания:

.

Замечание 1.

Достоинство классического определения вероятности заключается в том, что не требуется в действительности проводить испытание. Достаточно теоретически проанализировать все возможные исходы одного испытания.

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей (поскольку ):

.

Вероятность достоверного события равна единице (поскольку m=n):

.

Вероятность невозможного события равна нулю (поскольку m=0).

Пример 1.

Проводится двукратное подбрасывание монеты. Определить вероятность того, что герб выпадет только один раз.

Решение.

Данная задача удовлетворяет условиям классического определения вероятностей.

Обозначим А – событие, состоящее в появлении герба один раз.

Перечислим возможные исходы опыта:

,

где  - выпадение герба,  - выпадение решки, .

Событию А благоприятны исходы:

.

Следовательно, .

Искомая вероятность равна:

.

Пример 3.