Произвольных постоянных Лагранжа

Рассмотрим уравнение вида

С учетом обозначения  можно записать:

При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть этого уравнения непрерывны на некотором интервале (конечном или бесконечном).

     Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения  в некоторой области есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

     Доказательство. Пусть Y – некоторое решение неоднородного уравнения. Тогда при подстановке этого решения в исходное уравнение получаем тождество:

Пусть  - фундаментальная система решений линейного однородного уравнения . Тогда общее решение однородного уравнения можно записать в виде:

     Далее покажем, что сумма  является общим решением неоднородного уравнения.

     Вообще говоря, решение Y может быть получено из общего решения, т.к. является частным решением.

     Таким образом, в соответствии с доказанной теоремой, для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и каким-то образом отыскать одно частное решение неоднородного уравнения.  

     На практике удобно применять метод вариации произвольных постоянных Лагранжа.

Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде:

Затем, полагая коэффициенты C_i функциями от х, ищется решение неоднородного уравнения:

     Можно доказать, что для нахождения функций C_i(x) надо решить систему уравнений:

Пример 1. Решить уравнение

Решение.

1) Решаем линейное однородное уравнение

2) Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Составляем систему уравнений:

Решим эту систему:

Из соотношения  найдем функцию А(х).

Теперь находим В(х).

Подставляем полученные значения в формулу общего решения неоднородного уравнения:

Окончательный ответ:

Таким образом, удалось избежать нахождения частного решения неоднородного уравнения методом подбора.

Пример 2. Найти общее решение  

.                                                                      (10.1)

Решение:

1) Сначала найдем общее решение  для соответствующего ЛОДУ–II c постоянными коэффициентами

.                                                                                  (10.2)

Характеристическое уравнение для уравнения (10.2) имеет вид . Его корни совпавшие . Тогда частные решения ,  и общее решение  уравнения (10.2) имеют вид 

, ,                                                      (10.3)

( ).                                              (10.4)

2) Перейдем к нахождению общего решения  исходного уравнения (10.1) ( ). Предварительно находим производные от частных решений , :

Составляем вспомогательные определители :

Теперь находим искомые функции :

Определив функции , составляем общее решение  исходного уравнения (10.1) в виде:

Ответ:

Вообще говоря, метод вариации произвольных постоянных пригоден для нахождения решений любого линейного неоднородного уравнения. Но т.к. нахождение фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения может быть достаточно сложной задачей, этот метод в основном применяется для неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.

Лекция 8

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными

Коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.