Линейные однородные дифференциальные уравнения

С постоянными коэффициентами

     Решение дифференциального уравнения вида

или, короче,  будем искать в виде

,

где k = const.

     Т.к.  то

     При этом многочлен  называется характеристическим многочленомдифференциального уравнения.

     Для того, чтобы функция  являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы

 т.е.

     Т.к. e^kx ¹ 0, то  - это уравнение называется характеристическим уравнением.

     Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение  имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения k_i соответствует решение дифференциального уравнения.

     В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.

     Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

     1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

     2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:

a) каждому действительному корню соответствует решение e^kx;

б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:

в) каждой паре комплексно-сопряженных корней  характеристического уравнение ставится в соответствие два решения:

                                        и .

г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней  характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:

     3) Составляем линейную комбинацию найденных решений. Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

     Пример 1. Решить уравнение

.

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Общее решение имеет вид:

Пример 2. Решить уравнение

Решение.Составим характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример 4. Решить уравнение

Решение.Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример 5. Решить уравнение

Решение.Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример 6. Решить уравнение

Решение.Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Лекция 7

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

С произвольными коэффициентами. Метод вариации