Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Следующий тип дифференциальных уравнений – линейные дифференциальные уравнения первого порядка (сокращенно будем обозначать их ЛДУ-I).

Определение 5.1. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка (ЛДУ-I) называется уравнение, линейное относительно своей неизвестной функции и ее производной, то есть имеющее следующий вид

,                                                         (5.1)

где  – известные непрерывные функции на интервале  (функция  не равна тождественно нулю на ).

Замечание 1. Без ограничения общности также будем считать, что функция  не равна тождественно нулю на , так как в противном случае уравнение (5.1) становится уравнением с разделяющимися переменными.

На практике уравнение (5.1) приводят к лучшему для решения виду (деля обе его части на )

,                                                                          (5.2)

где обозначено

При решении таких уравнений (в этом убедимся позже) опять приходится применять метод разделения переменных. Однако главное отличие ЛДУ-I от уравнений с разделяющимися переменными и однородных уравнений состоит в том, что здесь общее решение ищется в общем виде как функция от независимого аргумента x.

При решении ЛДУ-I используют один из двух методов: метод двух множителей (двух функций) Бернулли или метод вариации произвольного постоянного (метод Лагранжа).