Однородные дифференциальные уравнения

Рассмотрим следующий тип дифференциальных уравнений первого порядка – однородные дифференциальные уравнения. Большинство однородных дифференциальных уравнений не являются уравнениями с разделяющимися переменными. Однако в ходе их решения приходится применять метод разделения переменных.

Определение 4.1. Функция  двух переменных  называется однородной функцией -го порядка, если при всех действительных ,  выполняется тождественно равенство

.                                                                 (4.1)

Например,  – однородная функция 2-го порядка, так как .

Аналогично проверяется, что функция  является однородной функцией 1-го порядка, а функция  – однородной функцией нулевого порядка. Далее везде в этом параграфе будем рассматривать только однородные функции нулевого порядка, то есть такие функции, для которых .

Определение 4.2. Дифференциальное уравнение 1-го порядка вида

                                                                           (4.2)

называется однородным дифференциальным уравнением, если функция  является однородной функцией нулевого порядка.

Решение  уравнения (4.2) будем искать в виде

,                                                                             (4.3)

где  – неизвестная функция. Дифференцируя искомое решение (4.3), и подставляя его в уравнение (4.2), получим ,

Полученное последнее уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные в нем, имеем

Предполагая, что интеграл  по переменной u вычисляется конечным числом операций, получим общее решение (общий интеграл) уравнения (4.2) в виде

,                                                               (4.4)

где обозначено , .

Не стоит забывать, что при решении однородных уравнений необходимо проверять, являются ли  (то есть y = 0) и функция, которая получается при решении уравнения , частными решениями уравнения (4.2).

Пример 4.1. Найти решение уравнения .

Решение: В данном случае функция  определяется равенством . Уравнение является однородным, так как функция  является однородной нулевого порядка:

.

Решение отыскиваем в виде (4.3) . Учитывая, что , получим (подставляем в правую и левую части исходного дифференциального уравнения)

.

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными; разделим переменные и проинтегрируем обе части. Получим

Итак, получили общее решение в виде , где . Это решение можно записать в виде явной зависимости y от x: . Осталось выяснить, являются ли функции ,  – частными решениями однородного уравнения. Убеждаемся в этом прямой подстановкой этих функций в дифференциальное уравнение.

Дифференциальное уравнение вида

                                                            (4.5)

является однородным, если функции  являются однородными функциями одного и того же порядка m.

Действительно, переписав уравнение (4.5) в виде , получим, что функция  является однородной нулевого порядка:

Пример 4.2. Решить уравнение .

Решение: Первоначально заметим, что ,  – однородные функции 2-го порядка. Исходное уравнение является однородным. Переписав его в нужном для дальнейшего исследования виде, получим

,                                                                  (4.6)

причем уравнение (4.6) будем решать при условии, что , то есть . Сразу заметим, что функция x=0 является частным решением исходного дифференциального уравнения (подтверждается подстановкой), а функция  – нет.

Итак, решаем уравнение (4.6). Учитывая, как и прежде, что , , получим (подставляем в правую и левую части исходного дифференциального уравнения)

Последнее полученное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Решая его выше рассмотренным способом, получим

Вычислим интеграл

Тогда общее решение нашего уравнения имеет вид

Лекция 3