Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Простейшими типами дифференциальных уравнений являются дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

Определение 3.1.Уравнение вида

,                                                                         (3.1)

где  – известные (заданные) функции, называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. 

Говорят, что в уравнении (3.1) переменные  разделены, то есть каждая из них содержится только в той части, где находится ее дифференциал.

В обеих частях уравнения (3.1) стоят дифференциалы некоторых неизвестных функций. Если считать  – независимой переменной, а  – функцией от  ( ), то решаем уравнение (3.1) относительно . Учитывая это, имеем , а тогда, так как равны дифференциалы, то производя интегрирование (по ), получим связь между переменными

,

освобожденную от дифференциалов, или в сокращенной записи

.                                           (3.2)

Пример 3.1. Найти решение (общее) уравнения .

Решение: Видно, что представленное уравнение является дифференциальным уравнением с разделенными переменными: , . Пользуясь (3.2), имеем

Заметим, что в данном примере общее решение нашего уравнения найдено в явном виде как функция от независимого переменного . На практике при решении многих задач может возникнуть ситуация (см. ниже), когда ни одну из переменных нельзя выразить в явном виде через другую. Тогда равенство вида (3.2) называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение 3.2. Уравнение вида

,                                                   (3.3)

где  – известные (заданные) функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Уравнение вида (3.3) можно легко привести к уравнению с разделенными переменными (3.1): как говорят – разделить переменные. Для этого перенеся второе слагаемое в правую часть и поделив обе части полученного уравнения на произведение  (при условии, что  не равно нулю тождественно), получим

Дифференциальное уравнение в последней системе является дифференциальным уравнением с разделенными переменными. Применяя выше рассмотренный прием интегрирования, получим

                                      (3.4)

Осталось сказать, что при разделении переменных в уравнении (3.3) можно потерять некоторые частные решения. Они находятся среди решений уравнений . Найдя решения этих уравнений, необходимо проверить, являются ли они частными решениями исходного дифференциального уравнения.

Пример 3.2. Дано уравнение .Найти его общее решение и частное решение, удовлетворяющее начальному условию  (решить задачу Коши).

Решение: Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, так как (см. (3.3)) , , , . Разделяя переменные, получим

Первое уравнение в этой системе – дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, получим

Итак, при  найдено общее решение (общий интеграл)

.                              (3.5)

дифференциального уравнения. Заметим, что одним из частных решений этого уравнения является функция , так как при подстановке его в исходное дифференциальное уравнение получается тождественное равенство. Очевидно, что оно не входит в (3.5) ни при каком значении константы C.

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Для этого выберем одно из найденных решений: общее (3.5) или частное . Так как при , то для нахождения частного решения выбираем общее решение (3.5). Подставляя в него , найдем определенное значение константы C: , то есть . Тогда частное решение, удовлетворяющее условию , имеет вид

.

В заключение скажем, что общее решение (3.5) нашего уравнения можно записать не только в виде общего интеграла, но и в явном виде, выразив после преобразований переменную x через y.