Допускающие понижение порядка

Определение. Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида:

В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y⁽ⁿ⁾:

Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений.

Определение. Решение  удовлетворяет начальным условиям , если

Определение. Нахождение решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям , называется решением задачи Коши.

Теорема Коши. (о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи Коши).

Если функция (n-1) –й переменных вида в некоторой области D (n-1)- мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные частные производные по , то какова бы не была точка ( ) в этой области, существует единственное решение  уравнения , определенного в некотором интервале, содержащем точку х₀, удовлетворяющее начальным условиям .

Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов.

Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.

7.1. Уравнения вида

Рассмотрим сначала уравнение n-го порядка вида

,                                                                                   (7.1)

где  – непрерывная функция, .

Общее решение уравнения (7.1) может быть получено путем n последовательных интегрирований

,

,

причем оно будет зависеть от n констант .

Пример 7.1. Найти общее решение уравнения .

Решение: В данном случае (см. (7.1)) n = 3, . Определим последовательно функции . Получим

Ответ:

Пример 7.2. Решить задачу Коши , .

Решение: Имеем (см. (7.1)) n = 2, . Последовательно находим функции , на каждом шаге определяя константы из условий .

На первом шаге (интегрируя по частям)

и, учитывая, что , находим константу С₁:

На втором шаге (интегрируя по частям)

учитывая, что , находим константу С₂:

   Итак,  – частное решение, удовлетворяющее условию .

Уравнения вида

Рассмотрим дифференциальное уравнение n-го порядка вида

,                                                                   (7.2)

не содержащее искомой функции  и ее производных до ( )-го порядка включительно (то есть функции ).

Уравнение (7.2) введением новой функции

                                                                        (7.3)

( ) сводится к дифференциальному уравнению первого порядка

,                                                                               (7.4)

где неизвестной является функция  (x – независимая переменная).

Найдя решение уравнения (7.4) – функцию , получаем дифференциальное уравнение вида

                                                                                        (7.5)

относительно неизвестной функции , и являющееся уравнением вида (7.1). Решение уравнения (7.5) может быть получено путем (n–1) последовательных интегрирований.

В частном случае, когда n=2 дифференциальное уравнение (7.2) является уравнением второго порядка . Тогда замена (7.3), которая здесь имеет вид , также приводит уравнение (7.2) к дифференциальному уравнению первого порядка (7.4).

Пример 7.3. Найти общее решение уравнения

.                                                                             (7.6)

Решение: Представленное уравнение (7.6) является дифференциальным уравнением третьего порядка (n=3), которое можно записать в виде (7.2)

.

Заменой  уравнение (7.6) приводится к уравнению

                                                                                  (7.7)

с разделяющимися переменными относительно функции . Решаем его:

При  получили . Однако  является частным решением уравнения (7.7). Тогда общее решение уравнения (7.7) можно записать в виде  (частное решение  входит сюда при ).

Учитывая, что , находим последовательно функции

Ответ:

Пример 7.4. Найти общее решение уравнения

.                                                                      (7.8)

Решение: Уравнение (7.8) является дифференциальным уравнением второго порядка (n=2), . Примем , тогда  и уравнение (7.8) примет вид

.

Разрешив это уравнение относительно своей производной, получим

.                                                                                  (7.9)

Уравнение (7.9), очевидно, является однородным дифференциальным уравнением (функция  – однородная нулевого порядка (проверьте!)). Решение уравнения (7.9) ищем в виде

, .

Учитывая, что , получим

.

Последнее уравнение – уравнение с разделяющимися переменными:

Таким образом, общее решение уравнения (7.9) имеет вид

.                                             (7.10)

Непосредственно проверяется, что при  функция  не является частным решением уравнения (7.9), а при  функция  является частным решением уравнения (7.9). Тогда общее решение уравнения (7.9) можно записать в виде

.                                                     (7.11)

Теперь, исходя из равенства , нетрудно найти общее решение исходного уравнения (7.8)

Ответ:

7.3. Уравнения вида

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка вида

,                                                                             (7.12)

относительно искомой функции , не содержащее независимой переменной  ( ).

Чтобы решить уравнение (7.12) вводят новую функцию

,                                                                  (7.13)

причем ее считают функцией аргумента !

Применяя теорему для производной сложной функции , найдем выражение для производной функции

.                                    (7.14)

Итак, замена (7.13) и выражение (7.14) приводят уравнение (7.12) к следующему виду

.                                                                         (7.15)

Уравнение (7.15) является дифференциальным уравнением первого порядка, в котором неизвестной функцией является функция  «независимого» аргумента .

Найдя решение уравнения (7.15), находят искомое решение  уравнения (7.12):

.

Пример 7.5. Найти частное решение уравнения

,                                                                                 (7.16)

удовлетворяющее условию .

Решение: Представленное уравнение имеет вид (7.12), в котором

.

1) Вводим функцию , определяемую равенством (7.13): , для которой . Уравнение (7.16) примет вид уравнения первого порядка  с разделяющимися переменными относительно функции . Находим его общее решение:

.

Для определения константы  воспользуемся условиями . В равенство  подставляем , : , откуда  = 0. Тогда получим выражение для функции  в виде  или .

2) Пользуясь равенством , теперь определим частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющего условиям :

.

Определим теперь значение константы , воспользовавшись условием . Подставляя в равенство  значения , получим  = –2. Итак, решением задачи Коши является функция , если в явном виде, функция .

Ответ: , .

Лекция 6