Линейные однородные дифференциальные уравнения

С произвольными коэффициентами. Структура общего решения

     Определение. Линейным дифференциальным уравнением n–го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных  вида:

где p₀, p₁, …,p_n – функции от х или постоянные величины, причем p₀ ¹ 0.

     Левую часть этого уравнения обозначим L(y).

.

     Определение. Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однороднымуравнением, если f(x) ¹ 0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p₀, p₁, p₂, … p_n – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.

     Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным.

     Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков.

     Рассмотрим уравнение вида

     Определение. Выражение

называется линейным дифференциальным оператором.

     Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами:

     1)

     2)

Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами:

     1) Если функция у₁ является решением уравнения, то функция Су₁, где С – постоянное число, также является его решением.

     2) Если функции у₁ и у₂ являются решениями уравнения, то у₁ +у₂ также является его решением.

Структура общего решения

     Определение. Фундаментальной системой решенийлинейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.

     Определение. Если из функций y_i составить определитель n – го порядка

,

то этот определитель называется определителем Вронского.

(Юзеф Вроньский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик)

     Теорема 1. Если функции  линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.

     Теорема 2. Если функции  линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.

     Теорема 3. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения  была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.

     Теорема 4. Если  - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений.

,

где C_i –постоянные коэффициенты.

Общее решение линейного однородного дифференциального

Уравнения второго порядка

     Применение приведенных выше свойств и теорем рассмотрим на примере линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.Из вышеизложенного видно, что отыскание общего решения линейного однородного дифференциального уравнения сводится к нахождению его фундаментальной системы решений.

     Однако, даже для уравнения второго порядка, если коэффициенты р зависят от х, эта задача не может быть решена в общем виде.

     Тем не менее, если известно одно ненулевое частное решение, то задача может быть решена.

     Теорема 5. Если задано уравнение вида  и известно одно ненулевое решение у = у₁, то общее решение может быть найдено по формуле:

     Таким образом, для получения общего решения надо подобрать какое-либо частное решение дифференциального уравнения, хотя это бывает часто довольно сложно.

Пример. Решить уравнение

Решение. Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое-либо частное решение.

Таким частным решением будет являться функция  Действительно,

Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать:

Общее решение имеет вид:

Окончательно: