Метод вариации произвольного постоянного Лагранжа

Рассмотрим другой метод нахождения общего решения уравнения (5.2), называемый методом вариации произвольного постоянного Лагранжа.

Определение 5.2. Пусть дано уравнение (5.2). Уравнение с правой частью  называется линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка, соответствующее ЛДУ-I. Оно имеет вид

.                                                                               (5.8)

Метод нахождения общего решения уравнения (5.2) основан на знании общего решения соответствующего однородного (5.8) и состоит из двух этапов.

На первом этапе ищут общее решение  ( ) уравнения (5.8) (оно является уравнением с разделяющимися переменными). Найти его общее решение нетрудно:

  Итак, общее решение уравнения (5.8) имеет вид

                                                     (5.9)

На втором этапе ищут общее решение исходного уравнения в виде

,                                                            (5.10)

где  – неизвестная функция. Далее поступают знакомым приемом: предполагая, что общее решение уравнения (5.2) должно иметь вид (5.10), подставляют в левую часть (5.2) выражение (5.10) и выражение для ее производной . При правильной такой подстановке получится равенство для определения неизвестной функции . Рассмотрим данный алгоритм на примере.

Пример 2. Найти методом вариации произвольного постоянного Лагранжа частное решение ЛДУ-I

,                                                                                      (5.11)

удовлетворяющее начальному условию  (решить задачу Коши).

Решение: Сначала найдем общее решение однородного уравнения

, соответствующее уравнению (5.11).

Имеем

Итак,  есть общее решение линейного однородного, соответствующего (5.11).

Теперь общее решение исходного уравнения (5.11) необходимо искать в виде

,                                                                     (5.12)

где функция  подлежит определению. Дифференцируя равенство (5.12) по переменной x ( ) и используя

исходное уравнение, получим

   Итак, функция  имеет вид . Согласно равенству (5.12) общее решение уравнения (7.3.11) имеет вид

.                    (5.13)

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Для этого определим конкретное значение константы  в общем решении (5.13). Подставляя в равенство (5.13) , получим , откуда =2. Тогда искомое частное решение уравнения имеет вид , .

Ответ: , .

Лекция 4

Уравнение Бернулли. Метод решения

Определение. Уравнением Бернуллиназывается уравнение вида

где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1.

Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку

,

с помощью которой уравнение Бернулли приводится к линейному. Для этого разделим исходное уравнение на yⁿ.

Применим подстановку, учтя, что

.

Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z.

Решение этого уравнения будем искать в виде:

.

Пример. Решить уравнение

Решение. Разделим уравнение на xy²:

Полагаем Тогда

.

Полагаем

.

Произведя обратную подстановку, получаем:

Пример. Решить уравнение

Решение. Разделим обе части уравнения на

Полагаем

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:

Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:

Получаем: .

Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:

.

Лекция 5

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальные уравнения высших порядков,