Влияние параметров САР на ее устойчивость

Рассмотрим влияние коэффициента передачи на устойчивость замкнутой системы на примере САР третьего порядка с единичной отрицательной связью.

Характеристическое уравнение имеет вид:

T₁ T₂ T₃ s ³+ ( T ₁T₂+ T₁ T₃+T₂ T₃ ) s²+( T₁+T₂+T₃ ) s+(1+K)=0

Все коэффициенты этого уравнения положительны:

a₃= T₁ T₂ T₃ ;   a₂= T₁ T₂ + T₃ T₁ + T₂ T₃; a₁= T₁ +T₂ +T₃ ;  a₀= 1+ K

следовательно, необходимое условие выполняется. 

 Достаточное условие по критерию Гурвица сводится к выполнению соотношения:

                     a₂ a ₁ - a ₃ a ₀ > 0    т.е.

( T ₁T₂+ T₁ T₃+T₂ T₃ ) (T₁+T₂+T₃ ) - T₁ T₂ T₃ (1+ K) > 0

Это условие можно переписать в виде

или

       K<K_kp

где

или

Как видим, критический коэффициент усиления К_кр   зави­сит от соотношения постоянных времени системы.

Рассмотрим случай, когда    Т₁=Т₂=Т₃

При этом К_кр =8 и следовательно, система устойчива, если К<8.

Если передаточная функция

То характеристическое уравнение имеет вид

T₁ T₂ s ³+ ( T ₁+ T₂ ) s²+ s+ K=0

Все коэффициенты этого уравнения положительны:

a₃= T₁ T₂ ;  a₂= T₁ + T₂ ; a₁= 1; a₀= K

Необходимое условие выполняется. Достаточное условие по критерию Гурвица сводится к выполнению соотношения:

(Т₁+Т₂)1- К Т₁Т₂>0.

Это условие можно переписать в виде:                                                                                                                                                                        

или

                                                 K<K_kp

Здесь критический коэффициент усиления зависит от вели­чины постоянных времени систем: чем они меньше, тем больше К _кр .

Влияние малых параметров можно оценивать по частотным характеристикам. В качестве критерия упрощения передаточной Функция системы регулирования можно пользоваться малый разли­чием вещественных частотных характеристик Р(w) полной и упроченной систем . Если вещественные частотные характеристи­ки отличаются лишь при достаточно высоких частотах, то влиянием малых параметров можно пренебречь. Если же частотные характеристики отличаются в области средних частот, то упрощение недопустимо.

По логарифмическим частотным характеристикам влияние малых параметров оценивается по дополнительным фазовым сдвигам на частоте среза, которые вносят эти параметры.

Пример:    

Пусть система описывается передаточной Функцией                                                                                                                                                                         

где К = 3, T₁ = 0,6с , Т₂ = 0 ,0З с , Т₃ = 0,01с.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

Постоянную времени Т₄ примем за малый параметр. Тогда вырожденная передаточная функция примет вид

Оценим запасы устойчивости вырожденной y_в (w_с) и полной y_п (w_с) систем:

y_в=180-90-arctgT₁w_c-arctgT₂w_c-arctgT₃w_c

y_п=180-90-arctgT₁w_c-arctgT₂w_c-arctgT₃w_c- arctgT₄w_c

Частоту среза можно определить из уравнения

А(w_c)=1 , Z(w_c)= 0

Для этого можно найти w_c , удовлетворяющую первому условию, методом подбора либо построить логарифмические частотные характеристики и из графика определить частоту, на ко­торой Z (w_c)   пересекает ось частот.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            

Для  данного примера w_c =4,7 с^-1 . Тогда

y_в=180-90-70⁰30’-8⁰-2⁰40^’=8⁰50’

y_п=180-90-70⁰30’-8⁰-2⁰40^’-35^’=8⁰50’

Очевидно, постоянная времени Т₄, принятая за малый параметр, несущественно влияет на запас устойчивости по фазе и упрощение системы возможно.

Задание на лабораторную работу

1. По структурной схеме построить схему моделирования (рис.20) в системе CLASSIC.

Рис.20 Структурная схема

2. Задать ;

W_p(s)=K_p ; W_p(s)=K_p/s; W_p(s)=K_p(1+(1/T_иs)+T_пs)

(Данные коэффициентов К и постоянных времени Т, для типовых динамических звеньев, брать, в соответствии с вариантом, из таблицы 7).

Таблица 7

3. Построить в системе имитационного моделирования CLASSIC переходные процессы для каждого типа регулятора заданного объекта управления, с отрицательной обратной связью.

4. Проанализировать графики переходных процессов для различных типов регуляторов, сделать необходимые выводы о влиянии положительной и отрицательной обратной связи на устойчивость системы.

Содержание отчета

6. Название работы, цель.

7. Структурную схему моделирования.

8. Преобразованную схему моделирования.

9. Рисунки полученных графиков переходного процесса, для каждого типа регулятора.

10. Необходимые выводы.

Контрольные вопросы

1. Назовите основные типы коррекции.

2. Назовите типовые регуляторы.

3. Напишите передаточные функции для типовых регуляторов.

4. Для чего нужны регуляторы?

5. Назовите способы увеличения критического коэффициента усиления.

6. Расскажите о влиянии малых параметров на устойчивость САР.

Лабораторная работа №6