Частные случаи определителей.

Матрицы. Основные определения.

Матрица – прямоугольная таблица вида

, состоящая из чисел.

Числа а_ij называются матричными элементами матрицы, или матричными элементами.

Если элементы матрицы вещественные (действительные) числа, матрица называется вещественной.

Если число строк матрицы = числу её столбцов (m=n), матрица называется квадратной. 

Число строк или столбцов матрицы называется её порядком.

Элементы а₁₁,  а₂₂, а_mn квадратной матрицы образуют главную диагональ.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Квадратная матрица называется диагональной, если все её элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю.

Единичной называется диагональная матрица, все диагональные элементы которой = 1.

 2. Линейные операции над матрицами и их свойства.

Произведением матрицы A_m∙n на число C называется матрица B_m∙n, состоящая из элементов b_ij=αa_ij (i=1, …, m, j=1, …, n).

(–1)∙А – матрица, противоположная матрице А. Записывают –А.

Сумма матриц A_m∙n = (a_ij) и B_m∙n = (b_ij) называется С_m∙n = (с_ij), элементы которой с_ij= a_ij + b_ij (i=1, …, m, j=1, …, n). С=А+В

Разность матриц определяется след. образом: А-В=А+(-В).

Свойства линейных операций над матрицами:

1. А+В=В+А

2. (А+В)+С=А+(В+С)

3. А+0(нулевая матрица)=А

4. А+(-А)=0

5. α(β∙А)=(α∙β)

6. (α+)А=αА + βА

7. α(А+В)= αА+ αВ

Умножение матриц. Свойства.

А называется согласованной с В, если число столбцов А = числу строк В. Умножать можно только согласованные матрицы. C=A∙B

,

Из согласованности А с В не следует согласованность В с А.

Произведением A_m∙n = (a_ij) на B_m∙n = (b_ij) называется С_m∙n = (с_ij), элементы которой определяются равенством с_ij= a_i1∙b_1j + a_i2∙b_2j + a_i3∙b_3j + … + a_in∙b_nj

(i=1, …, m, j=1, …, k).

Даже в случае, когда матрица А согласована с матрицей В, а матрица В согласована с матрицей А, результат умножения А∙В≠В∙А. В некоторых случаях А∙В=В∙А, тогда матрицы А и В называются коммунитативными.

Свойства умножения матриц:

1. А(ВС)=(АВ)С

2. α(АВ)= (αА)В=А(αВ)

3. (А+В)С=АС+ВС

4. С(А+В)=СА+СВ

Транспонирование матриц. Свойства.

Транспонированием матрицы называется замена каждой её строки её столбцом с тем же номером.

Свойства:

1. (А^Т)^Т=А

2. (αА)^Т=αА^Т

3. (А+В)^Т=А^Т+В^Т

4. (А∙В)^Т= А ^Т ∙В ^Т

Перестановки.

Перестановкой из чисел 1, 2, …, n называется любое их расположение в определённом порядке (α₁, α₂, …, α_n), где α_n – это одно из чисел 1, 2, …, n.

Две перестановки из n чисел считаются различными, если они отличаются порядком расположения хотя бы двух чисел (1, 2, 3, 4) (2, 1, 4, 3).

Подсчитаем число различных перестановок, которые можно составить из n чисел (α₁, α₂, …, α_n):

n перестановок, отличающихся первым элементом

если первый элемент зафиксирован, число перестановок = n-1

первые 2 элемента - = n(n-1)

первая тройка элементов - = n(n-1)(n-2)

число различных перестановок = n(n-1)(n-2)…2∙1=n!

n! (n повторял) – произведение всех целых чисел от 1 до n включительно.

Число всевозможных целых чисел = n!

1!=1, 2!= 1∙2=2, 3!=1∙2∙3=6, 4!=1∙2∙3∙4=24, 5!=120

Говорят, что 2 числа образуют инверсию в перестановке, если большее число стоит перед меньшим (2,1,3,4).

Если все числа расположены в порядке возрастания, число инверсий = 0.

Число инверсий в перестановке (α₁, α₂, …, α_n) обозначается k(α₁, α₂, …, α_n)

k(1,2,3,4)=0. k(2,1,3,4)=1

Число инверсий в производной перестановке может быть найдено по след. правилу: k(α₁, α₂, …, α_n) = k₁+k₂+…+k_n, где k_n – число чисел в перестановке, полученной из данной путём вычёркивания всех чисел, стоящих справа от числа i и меньших, чем число i:

k(2,1,3,4)=1+0+0+0=1. k₁=1 (2,1,3,4), k₂=0, k₃=0, k₄=0.

k(2,3,1,5,4)= 1+1+0+1+0=3.

Если число инверсий в перестановке чётное, то эта перестановка называется чётной, а если нечётная, то нечётной.

Перемена мест двух чисел в перестановке называется транспозицией.

Теорема: данная перестановка и перестановка, полученная из неё при помощи одной транспозиции, имеют различный характер чётности (одна чётная, другая нечётная).

Понятие определителя.

Вводится только для квадратной матрицы.

Составим произведение из nэлементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца а_{1 α1} ∙ а_{2 α2} ∙…∙ а_{n αn}  Для удобства первые индексы (номера строк) следуют в порядке возрастания. Вторые индексы (номера столбцов) будут образовывать некоторую перестановку (α₁, α₂, …, α_n). Число различных произведений такого вида будет равно числу различных перестановок из вторых индексов, которое, как мы знаем, равно n!. Домножим каждое из произведений на (-1)^{k(α1, α2, …, αn)}. Этот множитель может принимать значения -1…1. Получаем: (-1)^{k(α1, α2, …, αn)}∙ а_{1 α1} ∙ а_{2 α2} ∙…∙ а_{n αn}  

Сумма всех различных произведений такого вида называется определителем матрицы А. Обозначается |A| = детерминант.

 Здесь суммирование производится по всем различным перестановкам вторых индексов det(a_ij). Очевидно, что число слагаемых в правой части равно n!.

Частные случаи определителей.

1) матрица первого порядка:

А₁=[a₁₁]

detA₁=(-1)^k(1)=1⁰ ∙a₁₁=a₁₁

K(1) = 0

2) матрица второго порядка:

detA₂ =

3) матрица третьего порядка:

Теорема1: определитель произведения двух квадратных матриц одинакового порядка = произведению их определителей.

det(А₁∙А₂)= detA₁∙detA₂

Теорема 2: если а_α1β1а _α2β2… а_αnβnесть произведение элементов матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, то det матрицы может быть найден по формуле:

detA=∑(-1) ^{к(α1, α2... αn) к(β1, β2...βn)}∙а_α1β1а _α2β2… а_αnβn.

Здесь суммирование берётся по всевозможным произведениям элементов, взятых по 1му и только по 1му из каждой строки и каждого столбца матрицы А. эту теорему можно рассматривать как другое определение определителя равносильное тому, которое было введено ранее.