Теоремы о разложениях определителя

Теорема 1 (о разложении определителя по эл-там ряда). Определитель = сумме произведений элементов любого его ряда на их алгебраические дополнения,

Для строк эта теорема выглядит так:

detА= а_i1А_i1+а_i2А_i2+…+..a_inAin

Для столбцов:

detА=a_1jA_1j+ a_2jA_2j+…+ a_njA_nj.

Теорема 2 (замещения). Сумма произведений чисел α₁, α_2... α_n на алгебраические дополнения элементов некоторого ряда определителя = определителю, полученному из данного заменой в нём элементов выбранного ряда на числа α₁, α_2... α_n.

Теорема 3 (аннулирования). Сумма произведений элементов некоторого ряда определителя на алгебраические дополнения элементов другого, параллельного ему ряда, = 0.

Справедливость этой теоремы вытекает из того, что такая сумма произведений, согласно теореме замещения, будет = определителю, имеющему 2 одинаковых параллельных ряда, который согласно одному из св-в определителя = 0.

Свойства определителей.

1. При транспонировании матрицы её определитель не изменяется. det A^T=det A. Это свойство следует из другого определения определителя.

Рядом определителя будем называть его строку или столбец.

2. Если все элементы некоторого ряда определителя = 0, то этот определитель = 0.

Это свойство следует из определения определителя, согласно которому каждое слагаемое в определителе должно содержать 1 элемент из каждого ряда, в т. ч. из нулевого, => все слагаемые определителя = 0. Это и означает равенство нулю определителя.

3. Если все элементы некоторого ряда определителя имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.

Следует из определения определителя. Согласно определению, в каждом слагаемом определителя будет присутствовать 1 элемент из рассматриваемого ряда, т. е. каждое слагаемое определителя будет содержать этот множитель. Вынося этот множитель за скобки (или за знак суммы) в скобках получим определитель без общего множителя.

4. Определитель, каждый элемент некоторого ряда которого равен сумме 2-х слагаемых, равен сумме 2-х определителей, в первом из которых в данном ряду стоят первые слагаемые, а во втором – вторые слагаемые. А элементы остальных рядов у всех 3х определителей совпадают.

Это св-во для столбцов можно записать так:

Действительно, согласно определению определителя, каждое слагаемое будет содержать эл-ты из данного ряда, яв-ся суммой 2-ух слагаемых. Поэтому каждое слагаемое в определителе в левой части формулы разобьется на 2 слагаемых. Число слагаемых в определителе удваивается. Группируя отдельные слагаемые, содержащие а'_ni   и a''_ni, получим две суммы, которые, согласно определению, дадут первый и второй определитель из правой части.

5.Если м-ца В, полученная из м-цы А переменой мест 2х её параллельных рядов, то detВ=-detА, т. е. при перемене мест строк и столбцов матрицы знак её определителя изменится на противоположный. Действительно, например, перемена мест столбцов приведет к транспозиции – перестановке вторых индексов. В рез-те четность этой перестановки изменится. Поэтому, согласно определению определителя, изменятся знаки всех слагаемых определителя, а => поменяется на противоп. знак определителя.

6. Если м-ца имеет 2 одинаковых параллельных ряда, то её определитель = 0. Действительно, поменяв местами 2 одинаковых ряда м-цы, мы получим ту же самую матрицу. Но, согласно предыдущему свойству, ее определитель должен изменить знак на противоположный. detA=-detA. Это возможно только если detA=0.

7.Определитель м-цы, имеющий 2 пропорциональных параллельных ряда=0. Действительно, вынося коэффициент пропорциональности рядов за знак определителя, получим определитель, имеющий 2 одинаковых параллельных ряда, который, согласно св-ву 6, = 0.

8.Если м-ца В, полученная из м-цы А прибавлением к эл-там некоторого её ряда эл-тов другого параллельного ему ряда, умноженных на некоторое число, то detВ= detА.