Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Уравнения движения твердого тела




Для получения ур-ий движения тв. тела запишем его функцию Лагранжа. В качестве обобщенных координат выбе­рем три координаты центра инерции твердого тела: X, Y, Z, зада­ющие его положение относительно неподвижной с-мы отсчета, и три угла Эйлера: θ, φ, ψ, определяющие ориентацию подвижной с-мы координат относительно неподвижной с-мы координат. Начало подвижной с-мы координат поместим в центр инерции твердого тела, а оси подвижной с-мы координат направим по главным осям инерции твердого тела. Тогда функция Лагранжа твердого тела будет иметь вид

. (6.25)

При таком выборе подвижной с-мы координат в формуле для кинетической энергии твердого тела отделяются слагаемые, опи­сывающие кинетическую энергию поступательного движения тела и кинетическую энергию его вращения. Проекции угловой скоро­сти, согласно формулам , ,   (6.10)              выражаются через углы Эйлера и не содержат координат центра инерции твердого тела.

Ур-ния движения тв. тела разобьются на две группы уравнений. Первая группа получается при дифференцировании по координатам центра инерции. Она имеет вид уравнений второ­го закона Ньютона для материальной точки, масса которой равна массе твердого тела и координаты которой совпадают с координа­тами центра инерции твердого тела:     , , . (6.26)

В левой части этих уравнений стоят проекции ускорения центра инерции, в правой — проекции силы, приложенной к центру инер­ции. Уравнения (6.26) совпадают с уравнениями движения мате­риальной точки, имеющей массу твердого тела и координаты, рав­ные координатам центра инерции твердого тела. Их решение дает закон движения центра инерции твердого тела. Центр инерции твердого тела движется как материальная точка, масса которой равна массе твердого тела.

Другая группа ур-ий движения для твердого тела получа­ется при дифференцировании функции Лагранжа по углам Эйле­ра. Найдем производные по и . Используем для этого функцию Лагранжа (6.25) и формулы Эйлера (6.10). Вычисления дают  ,              (6.27)

. (6.28) Смысл частной производной  можно уяснить, если ее рассматри­вать как производную от сложной ф-ции, когда вначале берутся производные по координатам отдельных точек твердого тела: .     (6.29)

Используя формулу (3.33) для производной радиуса-вектора по угловой координате, найдем ,     (6.30)

где проекция на подвижную ось oz моменга действующих на твердое тело сил. В результате уравнение Лагранжа по координа­те ψ принимает вид

.          (6.31)

Эго ур-ние записано в проекции на ось oz подвижной с-мы координат. Ур-ния Лагранжа по координатам θ и φ дадут про­екции уравнений движения соответственно на ось узлов и ось OZ неподвижной с-мы координат. Эти проекции обычно не исполь­зуются. Вместо них записывают уравнения в проекциях на оси ох и оу подвижной системы координат. Вследствие равноправности всех осей декартовой с-мы координат эти ур-ния можно по­лучить из (6.31) циклической перестановкой индексов. Они имеют вид

,     (6.32)

.        (6.33)

Уравнения (6.31) - (6.33) называются уравнениями движения твер­дого тела в форме Эйлера. Они записаны в подвижной, жестко связанной с твердым телом системе координат. Их решение дает угловую скорость вращения твердого тела.










Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 508.

stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда...