Уравнения Гамильтона, или канонические.

Уравнения Лагранжа (3.8) представляют собой систему обык­новенных дифференциальных уравнений второго порядка относи­тельно обобщенных координат q_t. Число уравнений равно числу степеней свободы s. Известно, что порядок дифференциальных уравнений можно понизить путем введения новых переменных и увеличением количества уравнений. В классической механике в качестве дополнительного набора переменных выбирают обобщен­ные импульсы

 (7.1)

Для замены переменных в уравнениях Лагранжа используется из­вестное в теории дифференциальных уравнений преобразование Лежандра. В данном случае для этого запишем дифференциал функции Лагранжа как функции переменных      

Используя тождество

 преобразуем равенство (7.2) к виду

 (7.3)

В левой части формулы (7.3) стоит дифференциал от полной энер­гии механической системы (3.39), взятый со знаком минус. Для того чтобы использовать равенство (7.3), необходимо энергию за­писать как функцию переменных q_i, р_i и t, дифференциалы кото­рых стоят в правой части равенства (7.3). Энергия механической системы, выраженная через обобщенные координаты, обобщенные импульсы и время, играет важную роль в механике. Она называ­ется функцией Гамильтона и обозначается буквой Н:

 (7.4)

Из формулы (7.3) и определения дифференциала Н как функции переменных q_i, р_i и t получаем следующие выражения для частных производных от функции Гамильтона:

                         (7.5)

Первое из равенств (7.5) является соотношением, обратным опре­делению обобщенного импульса (7.1), так как позволяет выразить обобщенные скорости q\ через обобщенные импульсы р_i. С помо­щью второго равенства из (7.5) производные от функции Лагранжа по координатам в уравнении Лагранжа можно заменить на произ­водные от функции Гамильтона. Производя эту замену в уравне­ниях Лагранжа, записанных согласно (3.35) через обобщенные им­пульсы, и добавляя к полученным уравнениям первое из равенств (7.5), получаем систему уравнений:

 (7.6)

Уравнения (7.6) называются уравнениями Гамильтона. Это система дифференциальных уравнений первого порядка относи­тельно удвоенного набора неизвестных q{ и р,-. Число уравнений в два раза больше числа уравнений Лагранжа и равно 2s. Как и уравнения Лагранжа, уравнения Гамильтона получаются из од­ной скалярной функции — функции Гамильтона. Преимуществом системы (7.6) является еще и то, что уравнения разрешены отно­сительно производных от координат и импульсов. Вследствие про­стоты уравнений Гамильтона их также называют каноническими уравнениями механики.

Канонические уравнения можно получить из модифицирован­ного принципа наименьшего действия. Для этого из определения (7.4) выразим функцию Лагранжа через функцию Гамильтона и полученное выражение подставим в интеграл действия (2.22). В результате действие приводится к виду

(7.7)

Считая в выражении (7.7) обобщенные координаты и обобщенные импульсы независимыми переменными, запишем вариацию дей­ствия

                         (7.8)

Разобьем интеграп на сумму нескольких интегралов. Во втором интеграле выполним интегрирование по частям. Как и при выво­де уравнений Лагранжа, используем перестановочность операций варьирования и дифференцирования. Записывая опять все под одним интегралом, в результате получим

                     (7.9)

Поскольк независимые вариации, то из требования,

чтобы вариация действия обращалась в нуль, следуют равенства

 (7.10)

После деления их на dt получим канонические уравнения (7.6). Таким образом канонические уравнения выводятся из принципа наименьшею действия, если действие представить в виде (7.7).

В качестве примера рассмотрим получение функции Гамильто­на и канонических уравнений в полярной системе координат для материальной точки, движущейся в плоскости. Функция Лагран­жа для этой задачи приведена в формуле (3.18). Найдем для нее обобщенные импульсы:

                      (7.11)

Запишем энергию системы и с помощью формул (7.11) выразим ее через обобщенные импульсы. В результате получим функцию Гамильтона

                  (7.12)

Теперь вычисляем производные от функции Гамильтона:

      (7.13)

Значения производных подставляем в формулы (7.6) и получаем канонические уравнения в полярных координатах:

 (7.14)