Теорема о взаимности работ и взаимности перемещений

Пусть балка имеет два состояния:

1) рисунок

2)рисунок

Где ∆₁₂ – перемещение в точке 1 от действия силы, приложенной в точке 2.

∆₂₁ – перемещение в точке 2 от силы, приложенной в точке 1.

Для вывода теоремы сначала балку загружаем силой F₁, а затем силой F₂

Рисунок

Совершенная работа равна: W=W₁₁+W₂₂+W₁₂=  +  + F₁∙∆₁₂

Рисунок

W=W₂₂+W₁₁+W₂₁=  +  + F₂∙∆₂₁

Т.к. силы одинаковы, то и работа одинакова, из этого следует: F₁∙∆₁₂ = F₂∙∆₂₁ – теорема о взаимности работ (теорема Бетти): Работа сил первого состояния на перемещение второго состояния равна работе сил второго состояния на перемещение первого состояния.

Если принять F₁=F₂=1 (безразмерная величина), то получим теорему о взаимности перемещений (теорема Максвелла): δ₁₂=δ₂₁- перемещение от единичной силы. Th: перемещение в точке приложения первой единичной силы по её направлению, вызванной второй единичной силой равно перемещению в точке приложения второй единичной силы по её направлению, вызванной первой единичной силой. 

Графоаналитеческий способ решения интеграла Мора (способ Верещагина)

Если загружен. сис-мы имеют ряд участков с различными изгиб. моментами, то вычисления интеграла несколько затруднительно. Поэтому применяют способ Верещагина.

Пусть груз. эпюра моментов имеет криволинейное очертание, а единич. эпюра изгиб. моментов имеет линейное очертание (рисунок)

В этом случае интеграл Мора  .(ВЫВОД )

;  dw =S_y- статический момент площади груз. Эпюры моментов относительно оси У.

Статический момент любой фигуры равен произведению площади на расстояние от оси до центра тяжести фигуры где w- площадь грузовой эпюры М_F; Z_c- растояние до центра тяжести.

;  Однако имея значение момента от единичной нагрузки под центром тяжести груз. Эпюры .Поскольку к балке может быть приложена несколько нагрузок, то перемещение определяют для каждого участка балки  – формула Верещагина, т.е перемещение равно площади криволинейной эпюры на ординату прямолинейной расположенной под центром тяжести криволинейной эпюры. В практических расчётах площадь груз. эпюры разбивают на простейшие эпюры (рисунки)