Универсальный метод определения перемещений (интеграл Мора).

Пусть требуется определить прогиб в точке 1 двухопорной балки. Для упрощения вывода показываем только одну силу, но формула, которая будет получена, справедлива для любых нагрузок.

Рисунок:

Если требуется определить перемещение в точке 1 под действием силы F₂, приложенной к точке 2. Делают следующее:

В точке 1 прикладывают силу F₁=1, балка прогибается. Точка 1 перемещается на ∆₁₁ (1-индекс указывает точку, в которой определяется перемещение, 2-индекс указывает точку, где приложена сила).

Сила F₁ постепенно нарастая, совершает на этом перемещении работу: W₁=

Накопленная балкой энергия в этом случае равна: U₁= ∑ ∫ (M₁² dz ∕ 2EI_x) = W₁. Точка 2 перемещается в новое положение, но поскольку она свободна от нагрузок, то изменение энергии в балке не происходит.

К новому положению точки 2 прикладываем силу F₂, точка 2 дополнительно перемещается на ∆₂₂ и сила F₂, постепенно нарастая, совершает работу : W₂=

Дополнительная потенциальная энергия будет равна: U₂= ∑ ∫ (M₂² dz ∕ 2EI_x)= W₂.

Под действием силы F₂, точка 1 дополнительно перемещается на ∆₁₂, а сила F₁ оставаясь постоянной, совершает на этом перемещении работу W₁₂ =F₁∙∆₁₂ – это возможная или виртуальная работа, т.е. работа на чужом перемещении.

Суммарная работа: W=W₁+W₂+W₁₂=  +  + F₁∙∆₁₂

Суммарная потенциальная энергия равна: U=

Т.к. U=W, получим: F₁∙∆₁₂= . Сила F₁=1, поэтому ∆₁₂= .

В общем случае, когда определяют перемещение в любой точке от действия на балку группы сил F, то выражение примет вид: ∆_1F =  - формула Мора.

M₁- изгибающие моменты в сечениях балки от единичной силы.

M_F – изгибающие моменты от заданной нагрузки.

Порядок определения перемещение с помощью интеграла Мора.

1) Составляется уравнение изгибающих моментов от нагрузки M_F.

2) Освободив балку от нагрузки, прикладываем к ней единичную силу в той точке, где хотим определить перемещение по направлению этого перемещения.

3) Составляется уравнение изгибающих моментов от единичной силы F₁.

4) Полученные выражения моментов подставляются в интеграл Мора, и производится интегрирование и суммирование по длине системы.

Если в результате интегрирования и суммирования получают знак «+», то перемещение произошло по направлению единичной силы. Если определению подлежит не прогиб, а угол поворота сечения, то к разгруженной балке следует приложить в этом сечении единичный момент.