Определение перемещений методом непосредственного интегрирования диф-ого уравнения.

Полная проверка прочности балки при изгибе.

Как показал опыт эксплуатации изгибаемых элементов конструкций, разрушение их начинается с крайних волокон, где возникают наибольшие норм.напряжения

Вычисляем главное напряж. для целого ряда точек по высоте сечения можно построить эпюры δ₁ и δ_{3 .} Зачастую скачки на эпюрах δ₁ δ ₃ превышают δ _max.Поэтому возник.необходимость полной проверки прочности балки

1) По нормальным напряжениям в сечении где возникает наиб.изгибающий момент: δ

2) По касат. напряжению в сечении где возникает наибольшая поперечная сила:

3) По главным напряжениям в точке примыкания полки к стенке(т.А) в сечении, где одновременно возникают наиб. изгибающий момент и поперечная сила. Проверка в опасной т.Аосуществл. по одной из теорий прочности. Сначала в этой точке определ. главныенапряж. по ф-ле:

Подставляем главное напряжение в условие прочности по теории наиб.касат. напряжений:

δ₁ - δ₃ R  3-я теория прочности или теор. наиб касат напряжений

Аналогично условие прочности по теории энергоформы изменения примет вид:

4-я теор. прочности

Деформации при изгибе.

При действии нагрузок балка деформируется, а её ось искривляется. Изогнутую ось балки можно характеризовать двумя параметрами: 1) прогибом y; 2) углом поворота сечения θ. (Рисунок 1)

Прогибом балки в данном сечении наз. перемещение центра тяжести сечения в направлении перпендик. оси балки.

Углом поворота сечения наз. угол поворота поперечного сечения к своему первоначальному положению.

Изогнутая ось балки наз. упругой линией.

Определение перемещений  у и θ необходимы для расчёта элемента на жёсткость. Условие жёсткости требует что бы максимальный прогиб и угол поворота не превышали допускаемых значений

 – условие жёсткости.

Допускаемый прогиб устанавливается нормами проектирования в зависимости от назначения конструкции. Для балок это обычно - длина пролёта.

Приближённое дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

Рассмотрим балку нагруженную силой F.(рисунок 2)

 – первая производная от прогиба равна углу поворота сечения

Ранее была установлена зависимость ; из высшей математики известно  ,               т.к.  – величина малая, ей можно пренебречь, получим

Приравниваем правые части ур-ий (1) и(2)

- приближённое дифференциальное ур-е изогнутой оси балки.

Знаки кривизны и изгибающего момента совпадают если изогнутую ось поместить в 1-ом квадранте координатных осей т.е. начало координат выбирать в центре тяжести крайнего левого сечения балки, ось ординат направлять вверх, ось абсцисс совмещать с осью прямой балки :M_x>0, 1/p>0; M_x<0, 1/p<0.

С учётом этого диф. ур-е в дальнейшем будет записываться со знаком +.

Определение перемещений методом непосредственного интегрирования диф-ого уравнения.

Для определения θ и y проинтегрируем диф-оеуравнене

; ; ;

C иD – постоянные интегрирования, определ. из граничных условий закрепления балки.

Для консольной балки найти y_maxи θ _max

Определим постоянные интегрированияC иD

ПриZ=0 (защимление):y₀=0, θ₀=0

Найдём y_maxи θ _max при z=l

Знак «-» угла поворота указывает что сечение повернулось по часовой стрелке, а знак «-» у прогиба означает что прогиб произошёл вниз.

4.Обобщенноеур-е изогнутой оси балки. Метод начальных параметров.
Для балок, имеющих 1 участок интегрирования, применение диф-го ур-я не вызывает затруднений. При большом кол-ве участков возникает много постоянных интегрирования Си D, поэтому в этом случае составляются диф-ные ур-я не для каждого участка, а одно обобщенное, соблюдая при этом некоторые условия и приёмы интегрирования:
1) В начало координат помещается крайнее левое сечение балки.

2) Изгибающий момент составляется от сил, расположенных левее исследуемого сечения.

3)При наличии сосредоточенного момента на балке изгибающий момент от него записывается в виде:

4) Если распред. Нагрузка не доходит до рассм. Сечения, то её необходимо продлить до сечения и приложить уравновешивающую нагрузку.

5) Интегрирование обобщенного ур-я производится без раскрытия скобок.

Рассм. Загруженную балку (рисунок!):

Под действием нагрузок балка деформируется и в начале координат прогиб будет .Запишем приближенное диф-ноеур-е для ряда участков.При записи ур-й использ. Правило знаков как для изгибающего момента.

1 уч. =0; EI = ; EIy=

2 уч.EI z +

5 уч. EI =M(z-a)+

На смежных участках углы поворота и прогибы одинаковы.
При z=a; = ;

Из выражений углов поворота и прогибов следует: . Для выяснения физической сущности постоянных интегрирования С и Dрассм. 1 уч.:
При z=0; . Вывод:Постоянные интегрирования С и D представляют собой угол поворота и прогиб в начале координат,умноженные на жесткость балки.
Можно записать обобщенное ур-е изогнутой оси балки.
;E E .В этих ур-х нач. параметры E  неизвестны. Их необходимо определить. Поэтому этот метод получил название-метод начальных параметров.

5. Начальные параметры в обобщенном уравнении изогнутой оси балки, их определение.

Если сразу известны нач. параметры  можно сразу найти прогиб и угол попорота в любом сечении балки, но они не всегда известны. Нач. параметры опр-ся из граничных условий. Рассм. 1-ый и запишем:
1) Когда левый конец балки защемлен, то нач. параметры равны нулю.

z=0;

Начальный угол поворота не равен нулю. Начальный прогиб = 0.

z=0;

Находится из условия, что прогиб на 2-ой опоре = 0.

Если левый конец балки свободен, то оба нач. параметра не равны нулю.

 при z=0;

Метод непосредственного интегрирования и метод начальных параметров применяется для балок постоянного поперечного сечения.
Для балок переменного сечения используются энергетические методы.

6. Энергетический метод определения перемещений.
Энергетич. Методы определения перемещений основаны на принятомрав-ве работы внешних сил на перемещениях в упругой системе и потенциальной энергии упругой деформации системы.W=U.
Эти методы явл. Универсальными и нашли широкое применение. Работа статически приложенной внешней силы = ½ произведения конечного значения силы на конечное значение соответствующего перемещения.

 – теорема Клайперона

Работа произвольнойсис-мы сил равна:

При применении энергетич. Метода как линейные, так и угловые перемещения обозначают Δ.

Для определения работы внутренней силы, численно равной потенциальной энергии деформации, выделим из балки, находящейся в условиях чистого изгиба бесконечно малый элемент dz.

Из курса теор. Механики известно,что работа момента=его произведению на соотв. угол поворота. Учитывая статический характер нагрузки,получим: dW=dU= ; dΘ=

Это выражение даёт величину потенциальной энергии для элемента балки, находящегося в условиях чистого изгиба. При поперечном изгибе, когда кроме изгибающего момента, возникают и поперечные силы,ф-ла для вычисления энергии будет иметь вид: dU=

Коэффициент К зависит от размеров сечения и в какой-то мере учитывает неравномерность распределения касат.напр-й по сечению. При вычислении энергии деф-ции изгиба поперечными силами Q можно пренебречь, т.к. последнее слагаемое составляет 2-3% от всей энергии деф-ции.

Для вычисления энергии деф-ции балки в целом следует просуммировать значение dU по всей её длине. Окончательная ф-ла для определения энергии деф-ции при изгибе имеет вид: