ОБЧИСЛЕННЯ ПОКАЗНИКОВОЇ ТА ЛОГАРИФМІЧНОЇ ФУНКЦІЙ ТАБЛИЧНО-АЛГОРІТМИЧНИМ МЕТОДОМ

6.1 Мета заняття:

Вивчити на прикладах обчислень показникової та логарифмічної функцій можливості таблично-алгоритмічного методу.

Методичні вказівки

Під час проектування спецпроцесорів обчислення показникової та логарифмічної функцій вводять як базові операції. Окрім цього, обчислення заданих функцій необхідне при використанні логарифмічної системи числення з метою скорочення часу виконання операцій множення, ділення та ін. Застосування таблично-алгоритмічного методу до показникової і логарифмічної функцій можливе з будь-якою основою “q”. Надалі розглядатимемо випадок q=2, як практично найбільш прийнятний.

6.2.1. Обчислення показникової функції. Нехай є показникова функція вигляду:

                                                                                 (6.1)

де х - дійсне число.

З (6.1) виходить, що зміна аргументу на “k” одиниць (k – ціле число) призводить до зміни функції у 2^k рази. Покажемо це.

Введемо позначки:

                                                                         (6.2)

де x_ін – значення аргументу на інтервалі задавання функції або інтервальне значення аргументу.

Тоді

                                                       (6.3)

де y_ін ­– інтервальне значення функції.

Таким чином, якщо зобразити функцію y_ін у табличній формі на деякому інтервалі з заданою відносною поxибкою, можливе обчислення функції y для області зміни аргументу, обмеженої тільки розрядною сіткою, з тією ж відносною поxибкою. При цьому з (6.3) слід, що для обчислення y виконується тільки операція зсуву.

Для показникової функції доцільно вибирати два інтервали табличного зображення функцій:

X_поч = 0, x_кін = 1 для х ≥ 0, де y_поч = 1; y_кін = 2 і

x_поч = 0, x_кін = -1 для х ≤ 0, де y_поч = 1; y_кін= 0.5.

Розрахунок табличних значень функції виконується таким чином.

1. Визначається відносна похибка обчислень функції dy, виходячи з аналізу задачі та структури спецпроцесора. На практичному занятті dy може бути задана викладачем.

2. Обчислюється перша похідна функції y′ у точках початкового y_поч і кінцевого значення y_кін табличного інтервалу. Визначається найбільше по модулеві з цих двох значень похідної. Позначимо значення функції в точці з найбільшої похідної через .

3. Визначається крок розбивки аргументу x у табличному інтервалі.

                                                          (6.4)

де

4. Визначається число розрядів n_x двійкового коду аргументу в табличному інтервалі, відповідно до рівняння (5.4а)

5. Визначається число розрядів n_y двійкового представлення функції відповідно до рівняння (5.5а)

6. Виконується обчислення табличних значень функціїy_ін з кроком Dх для табличних значень аргументу. На практичних заняттях, як таблиця, може бути використаний калькулятор.

Процедура обчислення функції полягає ось в чому [7].

Виконується, якщо це необхідно, зведення аргументу x до інтервальних значень x_ін за допомогою співвідношення (6.2).

За значенням аргументу x_ін з таблиці вибирається значення функціїy_ін, за яким відповідно до співвідношення (6.3) знаходиться значення функціїy.

Остаточно сформулюємо правило обчислення показникової функції в двійковій системі числення.

Якщо значення аргументу знаходиться в інтервалі табличного зображення функції, x Î [ x_поч, x_кін ), значення функції визначається з таблиці. В тих випадках, коли x Ï [ x_н, x_к ), для дробової частини значення аргументу визначається відповідне до нього табличне значення функції, яке зсувається на “k” розрядів ліворуч, якщо x > 0 або на “k” розрядів праворуч, якщо x < 0.

Приклад проектування таблиці ПЗП для обчислювача показникової функції.

Нехай y = 2^10,31

Обчислення виконаємо з відносною точністю: dy = 2^-10 » 10^-3

1. Маємо інтервал табличного зображення функції:

x_поч = 0; x_кін = 1; y_поч = 1; y_кін = 2.

2. Обчислимо похідну функції в точках: y_поч, y_кін :

, тоді

; .

Таким чином,  і, отже .

3. Визначимо крок розбивки відповідно до (6.4)

.

4. Визначаємо число розрядів представлення аргументу – n_x.

5. Визначаємо число розрядів представлення функції – n_y.

.

,

.

6. Під час проектування спецпроцесора обчислюємо 2¹⁰ інтервальниx значень функції з кроком Dx і точністю 10 розрядів.

В нашому випадку при обчисленніy_ін скористуємось калькулятором, задаючи n_x – розрядний аргумент і знімаючи n_y – розрядний результат.

Приклад процедури обчислення показникової функції.

1. Виділяємо з аргументу відповідно до (6.2) k и x_ін.

x = 10.31; k = 10; x_ін = 0.0100111101₂ » 0.31₁₀

2. Знайдемо значення функції.

По калькулятору y_ін = 1.0011110101₂ = 1.23926₁₀.

Тоді відповідно до (6.3) маємо

y = 2¹⁰·1.0011110101₂ = 100111101011₂ = 1269₁₀.

Точне значення по калькулятору – y = 1269.46.

Відносна похибка обчислення: dy = 0.00039.

6.2.2 Обчислення логарифмічної функції.

Нехай є логарифмічна функція вигляду:

y=log₂x                                                                                   (6.5)

де х – додатне число.

З (6.5.) виходить, що зміна аргументу в 2^k рази (k – ціле додатне або від’ємне число), призводить до зміни цілої частини функції y на k одиниць.

Справді, нехай аргумент зображений у формі:

де x_m – мантиса, k – порядок.

Після логарифмування цього виразу отримаємо:

                                                              (6.6)

Отже, якщо зобразити функцію в табличному вигляді на деякому інтервалі, на якому модуль значення функції менший за одиницю, то обчислення цього значення функції в усій області зміни аргументу можливе тільки за допомогою простиx операцій зсуву і вибірки з пам'яті.

Для логарифмічної функції доцільно вибрати два інтервали табличного зображення функції.

x_поч = 1, x_кін = 2 для y ≥ 0, де y_поч = 0, y_кін = 1

x_поч = 0.5, x_кін = 1 для y ≤ 0, де y_поч = -1, y_кін = 0.

Тоді (6.6) приймає вигляд:

(6.7)

де

Розрахунок табличних значень функції виконується аналогічно тому, як це робиться для показникової функції. При цьому крок розбивки інтервалу визначаємо так:

                                                             (6.8)

де  – значення функції в точці табличного інтервалу з найбільшою похідною.

Обчислення виконаємо з відносною приведеною похибкою dy = 2^–10. Наприклад, для інтервалу [1, 2) абсолютна похибка Dy приводиться до значення функції при x=2: y(2) = 1. Тоді

Dy = dy×y(2).                                                                      (6.9)

Процедура обчислення функції в двійковій системі числення полягає ось в чому [7].

Нехай аргумент зображений двійковим n_x – розрядним кодом. Можливі два випадки.

В першому значення аргументу знаходиться в інтервалі табличного зображення функції, x Î[ x_н, x_к ). В цьому випадку значення функції визначається з таблиці.

Другий випадок: x Ï[ x_н, x_к ). Виконується зсув аргументу на k розрядів праворуч, якщо x > 2 і на k розрядів ліворуч, якщо x < 0.5. Після цього значущі розряди аргументу потрапляють до інтервалу табличного зображення функції, що дозволяє отримати табличне значення функціїy_ін. Для отримання значення функції y до табличного значення функції слід приписати ліворуч від крапки число k з урахуванням знака, таким чином, що для x ³ 2, k - додатне, а для x ≤ 0.5, k – від’ємне.

Приклад проектування таблиці ПЗП для обчислювача логарифмічної функції.

Нехай .25, δy=2^-10.

Обчислення виконаємо з відносною приведеною похибкою dy = 2^–10. Для інтервалу [1, 2) згідно (6.9):

Dy =

1. Маємо інтервал табличного зображення функції:

X_поч = 1; x_кін = 2; y_поч = 0; y_кін = 1.

2. Обчислимо похідну функції в точках: y_поч, y_кін:

, тоді

; .

Таким чином,  і, отже .

3. Визначимо крок розбивки відповідно до (6.8)

.

4. Визначаємо число розрядів представлення аргументу - n_x.

5. Визначаємо число розрядів представлення функції – n_y.

.

6. Під час проектування спецпроцесора обчислюємо 2¹¹ інтервальниx значень функції з кроком Dx і точністю 10 розрядів.

В нашому випадку при обчисленні y_ін скористаємося калькулятором, задаючи n_x – розрядний аргумент і знімаючи n_y – розрядний результат.

Приклад процедури обчислення логарифмічної функції.

1. Визначаємо значення “k”:

x = 10011110110.01₂ , x_ін = 1.00111101100₂ » 1.2402₁₀.

Тобто для попадання в табличний інтервал необхідно виконати зсув аргументу на 10 розрядів вправо по відношенню до розрядної сітки. Таким чином, k = 10.

2. Знаходимо y_ін з таблиці (в нашому випадку по калькулятору)

y_ін = 0.010011111₂ = 0.3106₁₀. Отже, відповідно до (6.7) маємо y = 10.3106.

Точне значення по калькулятору – y = 10.3109.

Відносна похибка обчислення: dy = 0.0003.

Контрольні запитання та завдання

1. Яким способом визначають початкове й кінцеве значення аргументу для інтервалу при розрахунку показникової й логарифмічної функцій?

2. Наведіть основні співвідношення для приведення аргументу до інтервального значення при обчисленні показової й логарифмічної функцій.

3. Наведіть основні співвідношення для обчислення показової й логарифмічної функції по її інтервальному значенню.

4. Поясните основні етапи обчислення показникової і логарифмічної функцій таблично-алгоритмічним методом?

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ

1. Смирнов Ю.М., Воробьев Г.И. Специализированные ЭВМ. – М.: Высшая школа, 1989.

2. Байков В.Д., Смолов В.Б. Специализированные процессоры – М.: Радио и связь, 1985.

3. Самофалов К.Г., Луцкий Г.М. Основы теории многоуровневых конвейерных систем. – М.: Радио и связь, 1989.

4. Бадман О.Л., Миренков Н.Н. Специализированные процессоры для высокопроизводительной обработки данных. Новосибирск: Наука, 1988

5. Потапов В.И., Флоренсов А.Н. Таблично – алгоритмические вычисления функций в ЭВМ . – Иркутск:Издательство Иркутского университета, 1985.

6. Гусятин В.М. Таблично – алгоритмический метод вычисления степенной функции./ Вестник ХГПУ № 24. – Харьков: Изд. ХГПУ, 1999, С. 152 – 154.

7. Гусятин В.М., Янковский А.А. Быстрые алгоритмы вычисления логарифмической и показательной функций. – Харьковский технический университет радиоэлектроники. – Харьков. 1995 – 6 с. Деп. В ГНТБ Украины 23. 05. 95 № 1241 – УК 95.

Навчальне видання

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до практичних занять з дисципліни

“ПРОЕКТУВАННЯ СПЕЦПРОЦЕСОРІВ”

для студентів денної і заочної форми навчання спеціальності

7.091501 – Комп’ютерні системи та мережі

Упорядники: ГУСЯТІН Володимир Михайлович

ЧАГОВЕЦЬ Ярослав Васильович

БУГРІЙ Андрій Миколайович

          Відповідальний випусковий О.Г. Руденко

          Редактор

          Комп’ютерна верстка

План 2007, поз. ___

Пiдп. до друку __.__.__.     Формат 60´84 1/16. Спосіб друку – ризографія.

Умов.друк.арк. 3,5 Облiк. вид.арк. ___ . Тираж 200 прим. Зам. № ______

Цiна договiрна.

ХНУРЕ. Україна. 61166, Харків, просп. Леніна, 14

Віддруковано в навчально-науковому

видавничо-поліграфічному центрі ХНУРЕ

61166, Харків, просп. Леніна, 14