СТРАТЕГІЯ ПОДВІЙНОГО КРОКУ ПРИ ОРГАНІЗАЦІЇ СИНХРОННОГО ІТЕРАЦІОНОГО ПРОЦЕСУ ОБЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ

3.1 Мета заняття:

Вивчити двокрокову стратегію при організації синхронного ітераційного процесу на прикладі обчислення експоненціальної та логарифмічної функцій.

Методичні вказівки

Експоненційна і логарифмічна функції мають гіршу збіжність порівняно з тригонометричними функціями. Тому при побудові ітераційного процесу використовується стратегія, за якої кожна константа в процесі обчислень застосовується двічі, тобто при виконанні двох кроків.

Стратегія подвійного кроку

Стратегію подвійного кроку розглянемо на прикладі функції . Для обчислення функцій  використовуються ітераційні рівняння [2]:

                                                                 (3.1)

В наведених рівняннях індексом k задається номер кроку, kÎ{0, 1 … k_макс}. Як і в попередньому випадку, із зростанням k_макс зростає точність обчислень.

Індекс i визначає значення константи і пов'язаний з індексом k рівнянням

 ,                                                                          (3.2)

де i Î {1, 2 …}; q = 2 визначають номери та число кроків, на яких індекс i не змінюється.

Перед початком обчислень необхідно розрахувати значення константи ln(1 + x_k·2^-i) для x_k Î {1, -1}. Виконаємо розрахунок константи до значень i = 7 та зведемо результати до таблиці 3.1.

Таблиця 3.1.

На першому етапі, під час обчислення ітераційного процесу для аргументу, величина j_k наближається до нуля.

Перед початком обчислень ітераційного процесу необхідно задати початкові умови, що в даному випадку дорівнюють: k_поч = 0; x_поч = 1; j_поч = φ; sign x_поч = sign φ_поч. Приймемо j_поч = – 0.68. Тоді x_поч = –1; k_макс = 13.

Результати обчислень першого та другого етапів зведемо до таблиці 3.2.

Таблиця 3.2.

k	i
0	1	-1	j1 = –0.68 + 0.693 = 0.0130	1	x1 = 1.0 × ( 1 – 0.5) = 0.5
1	1	1	j2 = 0.0130 – 0.405 = –0.392	-1	x2 = 0.5 × ( 1 + 0.5) = 0.75
2	2	-1	j3 = –0.392 + 0.288 = –0.104	-1	x3 = 0.75 × ( 1 – 0.25) = 0.563
3	2	-1	j4 = –0.104 + 0.288 = 0.184	1	x4 = 0.563 × ( 1 – 0.25) = 0.422
4	3	1	j5 = 0.184 – 0.118 = 0.066	1	x5 = 0.422 × ( 1 + 0.125) = 0.475
5	3	1	j6 = 0.066 – 0.118 = –0.052	-1	x6 = 0.475 × ( 1 + 0.125) = 0.534
6	4	-1	j7 = –0.052 + 0.0645 = 0.0125	1	x7 = 0.534 × ( 1 – 0.0625) = 0.501
7	4	1	j8 = 0.0125 – 0.0606 = –0.0481	-1	x8 = 0.501 × ( 1 + 0.06250) = 0.532
8	5	-1	j9 = –0.0481 + 0.0317 = –0.0164	-1	x9 = 0.532 × ( 1 – 0.03125) = 0.515
9	5	-1	j10 = –0.0164 + 0.0317 = 0.0153	1	x10 = 0.515 × ( 1 – 0.03125) = 0.499
10	6	1	j11 = 0.0153 – 0.0155 = –0.0002	-1	x11 = 0.499 × ( 1 + 0.01563) = 0.507
11	6	-1	j12 = –0.0002 + 0.0157 = 0.0155	1	x12 = 0.507 × ( 1 – 0.01563) = 0.499
12	7	1	j13 = 0.0155 - 0.00778 = 0.00772	1	x13 = 0.499 × ( 1 + 0.0078125) = 0.503
13	7	1	j14 = 0.00772 - 0.00778 = –0.00006	-1	x14 = 0.503 × ( 1 + 0.0078125) = 0.507

Розрахунковий результат виберемо за рядком k = 13, де отримане найкраще наближення j_k+1 до нуля на першому етапі.

Отже, маємо: результат розрахунковий х = 0.507, за калькулятором х = 0.5066, похибка Dx = |0.5066-0.507| = 0.0004.