Модифікована стратегія подвійного кроку.

Для зменшення обсягу обчислень синхронного ітераційного процесу стратегію подвійного кроку модифікують таким чином. Другий крок на першому етапі використовується тільки в тому випадку, якщо цей крок наближає до мети, тобто до заздалегідь відомого числа, наприклад, нуля або одиниці. В протилежному випадку, дані другого кроку не використовуються для подальшої побудови ітераційного процесу, а використовуються лише дані першого кроку. На другому етапі в такій ситуації другий крок минається.

Модифіковану стратегію подвійного кроку розглянемо на прикладі логарифмічної функції.

Логарифмічна функція, як і попередня експоненціальна, має гіршу збіжність порівняно з тригонометричними функціями. Тому в загальному випадку для обчислення логарифмічної функції за аналогією з експонентою, при побудові ітераційного процесу використовується стратегія подвійного кроку.

Для обчислення функції  використовуються ітераційні рівняння [2]:

                                                             (4.1)

Обчислення індексу величини кроку ітерації – i виконується відповідно до рівняння (3.2). Початкові умови визначаються таким чином: x_поч = x; y_поч = 1-x; j_поч = 0; sign x_поч = sign y_поч. На першому етапі, в процесі обчислення ітераційного процесу для аргументу величина x_k наближається до одиниці [2].

Таблиця 3.3.

k	i
0	1	1	x1 = 0.5066× (1 + 1/2) = 0.7599	y1 = 0.4934 – 0.5066×1/2 = 0.2401	1	j1 = 0.0 – 0.40550 = –0.4055
1	1	1	x2 = 0.7599 × (1 + 1/2) = 1.1399	y2 = 0.2401 – 0.7599×1/2 = –0.1399	-1	j2 = –0.4055 – 0.40547 = –0.8110
2	2	-1	x3 = 1.1399 × (1 – 1/4) = 0.8549	y3 = –0.1399 + 1.1399×1/4 = 0.1451	1	j3 = –0.8110 + 0.2877 = –0.5233
3	2	1	x4 = 0.8549 × (1 + 1/4) = 1.0686	y4 = 0.1451 – 0.8549×1/4 =  –0.06862	-1	j4 = –0.5233 – 0.22314 = –0.7464
4	3	-1	x5 = 1.0686 × (1 – 1/8) = 0.9350	y5 = –0.06862 + 1.0686×1/8 = 0.06496	1	j5 = –0.7464 + 0.1335 =  –0.6129
5	3	1	x6 = 0.9350 × (1 + 1/8) = 1.0519	y6 = 0.06496 – 0.9350×1/8 =  –0.05191	-1	j6 = –0.6129 – 0.11778 = –0.7307
6	4	-1	x7 = 1.0519 × (1 – 1/16) = 0.9862	y7 = –0.05191 + 1.0519×1/16 = 0.01383	1	j7 = –0.7307 + 0.06454 = –0.6662
7	4	1	x8 = 0.9862 × (1 + 1/16) = 1.0478	y8 = 0.01383 – 0.9862×1/16 = –0.04781	-1
8	5	1	x9 = 0.9862 × (1 + 1/32) = 1.0170	y9  = 0.01383 – 0.9862×1/32 = –0.01699	-1	j9 = –0.6662 – 0.03077 = –0.6970
9	5	-1	x10 = 1.0170 × (1 – 1/32) = 0.9852	y10 = –0.01699 + 1.0170×1/32 = 0.01479	1	j10 = –0.6970 – 0.03175 = –0.6653
10	6	1	x11 = 0.9852 × (1 + 1/64) = 1.0006	y11 = 0.01479 – 0.9852×1/64 = –0.0006	-1	j11 = –0.6653 – 0.0155 = –0.6808
11	6	-1	x12 = 1.0006 × (1 – 1/64) = 0.9850	y12 = –0.0006 + 1.0006×1/64 = 0.01503	1
12	7	-1	x13 = 1.0006 × (1 – 1/128) = 0.9928	y13 = –0.0006 + 1.0006 ×1/128 = 0.00722	1	j13 = –0.6808 + 0.00784 = –0.6730
13	7	1	x14 = 0.9928 × (1 + 1/128) = 1.00056	y14 = 0.00722 – 1.00056×1/128 = – 0.000597	-1	j14 = –0.6730 – 0.00778 = –0.6808

З таблиці 3.3. випливає, що на другому етапі з обчислень виключені два рядки k = 7, 11.

При k = 13 маємо: результат розрахунковий j = –0.6808, за вхідними данними j = –0.68. Абсолютна похибка Dj = |–0.68 – (–0.6808)| = 0.0008.

Контрольні запитання та завдання

1. Поясните стратегію подвійного кроку і в яких випадках її використовують?

2. Які константи використовуються при обчисленні експоненціальної і логарифмічної функцій?

3. Поясните спосіб організації синхронного модифікованого процесу ітерацій.

4. Чи можливо при обчисленні експоненціальної і логарифмічної функцій застосувати асинхронний спосіб організації ітераційного процесу?

4 ВИКОНАННЯ МНОЖНО-ДІЛИЛЬНИХ ОПЕРАЦІЙ МЕТОДОМ ”ЦИФРА ЗА ЦИФРОЮ”

4.1 Мета заняття:

Вивчити організацію обчислювального процесу методом “цифра за цифрою” під час виконання окремих операцій множення і ділення, а також складних множно-ділильниx операцій. Закріпити навички по організації синхронного, а також вивчити способи організації асинхронного ітераційного процесу на прикладі виконання множно-ділильниx операцій.

Методичні вказівки.

Метод “цифра за цифрою” є універсальним у тому розумінні, що з однаковим успіхом дозволяє обчислювати не тільки більшість функцій, але й виконувати арифметичні операції множення і ділення. При цьому вигляд ітераційних рівнянь зберігається, що дозволяє мати єдині для подібних задач апаратні засоби.

Обчислення множно-ділильниx операцій можна виконати як синхронним, так і асинхронним методом організації ітераційного процесу. Ітераційні процеси при виконанні множно-ділильниx операцій мають добру збіжність і, отже, немає необхідності застосовувати стратегію подвійного кроку. Формально це можна записати як те, що k = i.

Для обчислення множно-ділильниx операцій використовуються ітераційні рівняння [2].

                                                                                                 (4.1)

Початкові умови мають вигляд: y_поч = А; U_поч = 0; i_поч = 0; x_поч = 1.

В даному ітераційному процесі обчисленняy_i відповідає першому етапу, на якому y ® 0 зі збільшенням числа кроків. На другому етапі обчислюється функція U.

Рівняння (4.1) дозволяють обчислювати комплексний множно-ділильний вираз типу:

U = (A/B) C                                                                     (4.2)

Для спрощення рівнянь (4.1) припускається, що

úВú ³úАú , 0 £ С £ 1                                                                     (4.3)

У випадку, якщо вхідні дані у виразі (4.2) не задовольняють нерівностям (4.3), ці дані можуть бути зведені до певних нерівностей шляхом уведених масштабних множників пропорційних ступеню основи системи числення, в якій виконуються обчислення. Надалі такий масштаб дозволяє одержувати шукане число шляхом зсуву розрахункового результату по розрядній сітці на число розрядів, що дорівнює ступеню основи в масштабному множнику.

Під час виконання окремих операцій множення або ділення в рівнянні (4.2) слід приймати відповідно B = 1 або С = 1.

Виконаємо обчислення виразу (4.2), використовуючи синхронний і асинхронний методи організації ітераційного процесу. Нехай маємо А = 62,5; В = 0,75; С = 5.