ТАБЛИЧНО-АЛГОРИТМІЧНИЙ МЕТОД ОБЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ

5.1. Мета заняття:

Вивчити на прикладі обчислення ступеневої функції можливості таблично-алгоритмічного методу.

Методичні вказівки

Табличні і таблично-алгоритмічні методи відносяться до числа найбільш швидких методів обчислення функцій. Ця обставина призводить до широкого застосування цих методів при розробці базових операцій спецпроцесорів. Найпростішими в реалізації і найшвидшими є табличні методи. Однак, у багатьох випадках основною перешкодою їхнього використання є великі обсяги пам'яті, які необхідні для реалізації табличних методів.

Таблично-алгоритмічні методи дозволяють істотно знизити необхідні обсяги пам'яті, зберігаючи необхідну точність обчислень функцій. Час обчислень при цьому збільшується.

Розглянемо обчислення ступеневої функції вигляду

,                                                                              (5.1)

де x – додатні або від’ємні дійсні числа для областей існування функцій;

a і b – додатні і від’ємні цілі числа.

Така функція в загальному випадку представляє широкий клас функцій, що часто застосовуються на практиці.

Рис. 5.1. Варіанти поведінки ступеневих функцій

В якості приклада на рисунку 5.1 наведені можливі варіанти поведінки ступеневих функції для додатних значень аргументу у першому квадранті.

Застосування таблично-алгоритмічного методу для обчислення ступеневої функції надасть можливості зобразити функцію в табличному вигляді на деякому мінімальному інтервалі зміни аргументу [6]. Після приведення аргументу до інтервалу завдання функції, обчислюється інтервальне значення функції, погрішність якого задається розрядною сіткою обчислення. Для обчислень використовуються операції зсуву аргументу, функції і операції вибірки з пам'яті, що зменшує тривалість такту конвеєра, а, отже, і час обчислення функції.

Розглянемо підготовчі етапи і процедуру обчислень функції.

На підготовчих етапах здійснюється вибір інтервалу табличного задавання функції і розрахунок таблиці для інтервальниx значень функції.

Інтервал табличного зображення вибирається таким чином (для випадку першого квадранта). Початкове значення інтервалу х_поч вибирається з урахуванням особливостей функції. Для ступеневої функції такою особливою точкою є x = 1, для якоїy = 1. Кінцеве значення інтервалу x_кін вибирається відповідно до виразу:

,                                                            (5.2)

де q – основа системи числення.

Введемо також такі позначки: x_ін – значення аргументу на інтервалі табличного зображення функції, y_ін – інтервальне значення функції.

Розрахунок табличних значень функції містить наступні етапи.

1. Визначається відносна похибка обчислень функції dy, виходячи з аналізу задачі та системних вимог, в процесі розробки спецпроцесора. На практичному занятті dy може бути задане викладачем.

2. Обчислюється перша похідна функціїy´ в точках початковогоy_поч і кінцевого значень y_кін табличного інтервалу. Визначається найбільше по модулеві з цих двох значень похідної. Позначимо значення функції в точці з найбільшою похідною через .

3. Визначається крок розбивки аргументу Dх в табличному інтервалі.

     а) для додатних значень ступеня:

                                                            (5.3 а)

де ;

.

     б) для від'ємних значень ступеня:

                                                                        (5.3 б)

4. Визначається число розрядів n_x двійкового коду аргументу в інтервалі табличного зображення функції. У випадку, якщо , застосовуємо формулу (5.4а), в інших випадках – (5.4б):

                                                             (5.4а)

                                                                      (5.4б)

5. Визначається число розрядів n_y двійкового коду функції. У випадку, якщо , застосовуємо формулу (5.5а), в інших випадках – (5.5б):

                                                                 (5.5а)

                                                                            (5.5б)

де , .

6. Виконується розрахунок таблиці  значень функції (розрядністю n_y) для інтервальниx значень аргументу з кроком Dx.

На практичних заняттях, як таблиця, може бути використаний калькулятор.

Процедура обчислення функцій полягає ось в чому [6].

Виконується приведення аргументу до інтервалу за допомогою співвідношення:

,                                                                   (5.7)

Для того, щоб таблично-алгоритмічний метод, що розглядається, можна було реалізувати апаратно, необхідно рівняння у відповідності з виразом (5.7) обчислювати тільки для цілих значень “b·k” і цілих значень “k”.

На етапі зведення аргументу до табличного інтервалу задавання функції слід знайти мінімальне ціле значення коефіцієнта “k”.

За значенням аргументу х_ін з таблиці вибирається значення функціїy_ін.

За значенням y_ін обчислюється значення функції відповідно до співвідношення:

                                                                    (5.8)

Остаточно запишемо правило обчислення функції в двійковій системі числення.

Якщо значення аргументу знаходиться в інтервалі табличного зображення функції, тобто xÎ[x_{поч ,} х_кін), значення функції визначається з таблиці.

Якщо xÏ[x_{поч ,} х_кін), то виконується зсув аргументу на k·b розрядів ліворуч, якщо х < х_поч, або праворуч якщо х > х_кін. Число k – ціле, його значення вибирається таким чином, щоб після такого зсуву значущі розряди аргументу потрапили до інтервалу табличного зображення функції, що дозволяє отримати її значення y_ін. Для отримання значення функції табличне значенняy_ін слід зсунути на k·а розрядів у напрямку зсуву аргументу, якщо ступінь від’ємна, і в протилежному напрямку зсуву аргументу, якщо ступінь додатна.

Приклад проектування таблиці ПЗП для обчислювача ступеневої функції.

Нехай y=x^3/5. Приймемо q=2. Обчислення треба виконати з відносною похибкою не більш ніж .

1. Розрахуємо інтервал табличного зображення функції.

x_поч = 1; x_кін = x_поч·2^b = 32.

2. Обчислимо похідну функції в точкахy_поч, y_кін.

; ;

 і, отже, .

3. Визначимо крок розбивки

, бо , .

.

4. Визначимо число розрядів n_x двійкового коду аргументу:

5. Визначимо число розрядів n_y двійкового представлення функції:

.

,

.

6. Обчислюємо  значень функції з точністю 13 розрядів для інтервальних значень аргументу з кроком Dх. Розрахункові значення під час проектування спецпроцесора є даними для таблиці.

В нашому випадку при обчисленніy_ін скористуємось калькулятором. При цьому розрядність задавання x_ін повинна бути 15, a розрядність представлення функції - 13.

Приклад процедури обчислення ступеневої функції.

Нехай х = 1063.25₁₀ = 10000100111.01₂.

1. Обчислимо x_ін і k

; звідси .

По черзі задаємо цілі значення k, починаючи з k = 1 доти, доки не виконається співвідношення х_поч£х_ін£ х_кін. Отже, маємо:

Приймемо k=1:   > x_кін.

Приймемо k=2:  - значення аргументу потрапило в інтервал.

Нижче розглянемо приклад для пояснення операції зсуву значення аргументу в діапазон його інтервальних значень.

Для влучення в інтервал слід зсувати аргумент убік молодших розрядів до влучення одержуваного числа в процесі зсуву в табличний інтервал. Операції зсуву показані у вигляді таблиці 5.1.

З таблиці 5.1 слід, що в процесі зсуву аргументу, останній потрапив у табличний інтервал на 6 кроці. Однак, на цьому зсуві “k” не є цілим числом . Тому необхідно зробити додатково 4 зсуву, щоб “k” стало цілим числом. На 10-м зсуві k = 2.

Таблиця 5.1

№ зсуву	Аргумент х	Отношение х£хкін	k
0	10000100111.01	x>xкін	0
1	1000010011.101	x>xкін	1/5
2	100001001.1101	x>xкін	2/5
3	10000100.11101	x>xкін	3/5
4	1000010.011101	x>xкін	4/5
5	100001.0011101	x>xкін	1
6	10000.10011101	x<xкін
7	1000.010011101	x<xкін
8	100.0010011101	x<xкін
9	10.00010011101	x<xкін
10	1.000010011101	x<xкін	2

Остаточне значення аргументу (з урахуванням точності апаратного представлення дробової частини):

y_ін = 1.02246 = 1.0000010111₂ (табличне значення)

2. Знайдемо значення функції.

.

Розрахункове значення y = 65.4375, значення по калькулятору y = 65.34608. Відносна похибка обчислення: δy = 0.000356.

Контрольні запитання та завдання

1. Перерахувати основні особливості функцій, для яких застосовується таблично-алгоритмічний метод.

2. Яким чином визначають початкове і кінцеве значення аргументу для інтервалу при розрахунку ступеневої функції?

3. Приведіть основні співвідношення для приведення аргументу до інтервальних значень і обчислення функції по її інтервальному значенню.

4. Поясните основні етапи обчислення ступеневої функції таблично-алгоритмічним методом?