Асинхронний спосіб організації ітераційного процесу.

Розглянемо приклад обчислення операції ділення, використовуючи асинхронний спосіб організації ітераційного процесу.

Для зменшення загального числа кроків при обчисленні ряду деяких функцій можливе застосування асинхронного методу побудови ітераційного процесу. До числа таких функцій відносяться експонента, логарифмічна функція та ін. [2]. На відміну від синхронного способу при побудові асинхронного ітераційного процесу можуть бути використані не всі константи. Більшість з них на другому етапі можна минути. На відміну від синхронного методу, в якому результат обчислень вибирається за рядком першого етапу, де маємо найкраще наближення аргументу до деякого відомого числа, в асинхронному методі результат вибирається за останнім рядком ітераційного процесу. Кількість кроків в такому випадку не задається. А ітераційний процес завершується по досягненню заданої похибки наближення – D на першому етапі.

При асинхронному методі побудови ітераційного процесу можуть бути визначені різноманітні стратегії найкращого наближення аргументу на першому етапі до заздалегідь відомого значення. Розглянемо два методи організації асинхронного ітераційного процесу.

Спосіб перший. В літературі [2] цей варіант асинхронної організації ітераційного процесу визначається як спосіб “спробного кроку”. В цьому випадку під час визначення коефіцієнтів напрямку руху  на першому етапі можливі два випадки.

Випадок перший, колиy_поч > 0, тоді приймають Î{0,1}. Причому, якщо в процесі виконання ітерацій y_i > 0, то = 1, в протилежному випадку = 0. Випадок другий, колиy_поч < 0, тоді приймають  Î{0, -1}. Причому, якщоy_i < 0; то = -1, в протилежному випадку = 0. У зв'язку з тим, що  для кожного з випадків набуває тільки одного знака, цей спосіб інколи визначають як “знакопостійні” ітерації [2], на відміну від інших – “знакозмінних”, де  приймає додатні і від’ємні значення.

Застосуємо спосіб “ спробного кроку”, тобто Î{0; 1}. Причому, = 0, якщо y_i < 0; = 1, якщо y_i > 0. Рядок, на якому = 0 виключається з ітераційного процесу.

Вихідні дані А = 62.5; В = 0.75; С = 1, D = 0.001. Для зведення вxідниx даних до нерівностей (4.3) уведемо масштабні множники: А = 10²·0.625, тобто M_A = 10², B = 10⁰·0.75, тобто M_B = 10⁰, C = 10⁰·1, тобто M_C = 10⁰. Загальний масштаб дорівнює М = M_A/M_B·M_C = 10².

Визначимо початкові умови: y_поч = A = 0.625, = 1, Î{0; 1}, U_поч = 0.

Таблиця 4.2.

i
0	1	y1 = 0.625 - 0.75·1.0 = -0.125	0
1	1	y2 = 0.625 - 0.75/2 = 0.25	1	U2 = 0.0 + ½ = 0.5
2	1	y3 = 0.25 – 0.75/4 = 0.0625	1	U3 = 0.5 + ¼ = 0.75
3	1	y4 = 0.0625 - 0.75/8 = -0.0313	0
4	1	y5 = 0.0625 - 0.75/16 = 0.0156	1	U5 = 0.75 + 1/16 = 0.8125
5	1	y6 = 0.0156 - 0.75/32 = -0.00784	0
6	1	y7 = 0.0156 - 0.75/64 = 0.00388	1	U7 = 0.8125 + 1/64 = 0.8281
7	1	y8 = 0.00388 - 0.75/128 = -0.00198	0
8	1	y9 = 0.00388 - 0.75/256= 0.00095	1	U9 = 0.8182 + 1/256 = 0.832

З урахуванням масштабного множника М_А = 10² маємо:

Результат розрахунковий : U = 0.831·10² = 83.1, за калькулятором: U = 83.3. Абсолютна похибка DU = |83.3 – 83.1| = 0.2.

Спосіб другий. В цьому випадку при визначенні коефіцієнтів напрямку руxу  на першому етапі вважають, що Î{-1,1}. Причому = -1 якщо y_i – від’ємне і = 1, якщо y_i – додатне. Як і в методі “спробного кроку”, багато констант у процесі обчислень 2-го етапу минається. Під час побудови асинхронного ітераційного процесу стратегія найкращого кроку полягає ось в чому:

При незмінному початковому значенні y_i по черзі для кожної константи розраховуються значення y_i+1. Кожен результат, отриманий на i-му кроці, порівнюється з результатом, отриманим на i+1-му кроці. Якщо çy_i+1ç<çy_iç, то ітерація триває й на другому етапі на цих кроках функція не обчислюється. У випадку якщо çy_i+1ç>çy_iç, те i-й крок у цьому випадку є найкращим і на цьому кроці на другому етапі обчислюється функція. При наступних ітераціях за початкове значення y_i вибирається значення найкращого попереднього кроку. При цьому значення y_i+1 необхідно перерахувати при початковому значенні найкращого кроку. Обчислення на першому етапі завершуються, коли виконується співвідношення y_i ≤ D.

Природно, що при такій стратегії руху буде потрібно найменше число кроків для одержання необхідної точності обчислення функції. Надалі цей спосіб визначимо, як спосіб ú D_iú _мін.

Розглянемо даний метод на прикладі обчислення операцій множення.

Вихідні дані: А = 36.8, В = 1, С = 1.68, D = 0.001.

Для приведення вихідних даних до нерівностей (4.3) введемо масштабні множники: А = 10²·0.368; С = 10¹·0.168, тобто M_A = 10², M_C = 10¹.

Загальний масштаб дорівнює М = M_A·M_C = 10³.

Визначимо початкові умови: y_поч = A = 0.368, = 1, U_поч = 0.

Результати обчислень зведемо до таблиці 4.3.

Таблиця 4.3.

i
0	1	y1 = 0.368 – 1/1 = – 0.632	-1
1	1	y2 = 0.368 – 1/2 = – 0.132	-1
2	1	y3 = 0.368 – 1/4 = 0.118	1	U3 = 0 + 0.168/4 = 0.042
3	1	y4 = 0.368 – 1/8 = 0.243	1
3	1	y4 = 0.118 – 1/8 = – 0.007	-1	U5 = 0.042 + 0.168/8 = 0.063
4	1	y5 = 0.118 – 1/16 = 0.0555	1
4	-1	y5 = –0.007 + 1/16 = 0.0555	1
5	-1	y6 = –0.007 + 1/32 = 0.0243	1
6	-1	y7 = –0.007 + 1/64 = 0.00863	1
7	-1	y8 = –0.007 + 1/128 = 0.00081	1	U4 = 0.063 – 0.168/128 = 0.0617

Сірим кольором в таблиці позначені строки, в яких значення y_i+1 були перераховані при значенні y_i найкращого кроку. Враховуючи масштабний множник М = М_А·М_С = 10³ маємо: результат розрахунковий U = 0.06170·10³ = 61.7, результат за калькулятором U = 61.824. Абсолютна похибка DU = |61.824 – 61.7| = 0.124.

Контрольні запитання та завдання

1. Навіщо використовується масштабування вхідних величин при обчисленні множно-ділильних операцій ітераційним методом?

2. Поясните асинхронний спосіб організації ітераційного процесу методом «пробного кроку» при обчисленні операції ділення.

3. Поясните асинхронний спосіб організації ітераційного процесу методом «спробного кроку» при обчисленні операції множення.

4. Як задаються початкові умови при обчисленні множо-ділильних операцій і окремо операцій множення і ділення?