Теорема об изменении кинетического момента относительно неподвижной оси

Пример 4.7

Маховик вращается вокруг оси, проходящей через его центр масс, с угловой скоростью . Электрический тормоз создает тормозящий момент, пропорциональный угловой скорости маховика . Момент  от трения в подшипниках считается постоянным (Рис.4.7). Определить, через какой промежуток времени  остановится маховик, если момент инерции маховика относительно оси вращения .

Рис.4.7

Дифференциальное уравнение вращательного движения в рассматриваемом случае имеет вид:

         или              

Интегрируя полученное уравнение при заданных начальных условиях:

определяем время торможения: 

.

Пример 4.8

Шарик , находящийся в сосуде с жидкостью и прикрепленный к концу стержня  длины , приводится во вращение вокруг вертикальной оси  с начальной

угловой скоростью  (Рис. 4.8). Сила сопротивления жидкости пропорциональна угловой скорости . Определить, через какой промежуток времени  угловая скорость стержня станет в два раза меньше начальной, а также число оборотов , которое сделает стержень за этот промежуток времени. Массу шарика считать сосредоточенной в его центре, массой стержня пренебречь.

В динамике, также как и в статике, существенное значение имеет правильный выбор тела, движение которого будет рассматриваться. В данной задаче имеет смысл рассмотреть движение системы, состоящей из шарика и стержней  и . При таком выборе неизвестные реакции опор не войдут в уравнение движения. На Рис. 4.8 изображены все внешние силы, действующие на указанную систему. Из всех этих сил только одна – сила сопротивления создает момент относительно оси вращения системы:

         или    

Поскольку формулировка задачи содержит несколько вопросов, имеет смысл интегрировать уравнение с переменным верхним пределом:

откуда               и      

Рис.4.8

Полагая в полученном решении , определяем промежуток времени , по истечение которого угловая скорость уменьшится наполовину:

Число оборотов , сделанных стержнем за время , связано с углом поворота стержня: . Интегрируя равенство , получаем:

Подставляя сюда значение , получаем:

                    и, следовательно, 

Вращение механической системы с изменяющимся осевым моментом инерции

Если в процессе движения момент инерции системы относительно оси вращения изменяется, используется теорема об изменении момента количества движения механической системы относительно неподвижной оси:

.

Пример 4.9

Круглая горизонтальная платформа вращается без сопротивления вокруг вертикальной оси с угловой скоростью . При этом на расстоянии  от оси вращения стоит человек, масса которого равна  (Рис.4.9). Момент инерции платформы относительно оси вращения равен , радиус – . Как изменится угловая скорость платформы, если человек перейдет на ее край и начнет двигаться по ее ободу против вращения с относительной скоростью ?