Теорема об изменении количества движения и теорема о движении центра масс

Пример 4.1

По горизонтальной платформе, движущейся по инерции со скоростью , перемещается тележка с постоянной относительной скоростью . Через некоторое время тележка была заторможена. Определить общую скорость  платформы с тележкой после остановки тележки, если  – масса платформы;  – масса тележки (Рис.4.1).

По условию система платформа-тележка движется под действием вертикальных сил. Следовательно,   и проекция количества движения системы на горизонтальную ось  постоянна. Используя определение количества движения, приравниваем проекции на ось  количества движения системы платформа-тележка при движении тележки и после ее остановки:

Отсюда:    

Рис. 4.1		Рис. 4.2

Пример 4.2

Сохраняя условия предыдущей задачи, определить путь , который пройдет тележка по платформе с начала торможения до полной остановки, и время торможения , если считать, что при торможении возникает постоянная по величине сила сопротивления .

Рассмотрим движение тележки (Рис. 4.2). Теорема об изменении количества движения тележки в проекциях на ось  имеет вид:

Как показано в предыдущем примере, проекция на ось  количества движения системы платформа – тележка постоянна:

Дифференцируя равенство  по времени и исключая затем ускорение платформы  из уравнения , получаем дифференциальное уравнение движения тележки:

интегрируя которое, получаем сначала закон изменения скорости тележки:

а затем и закон относительного движения тележки: 

Учитывая, что при  и  из уравнений  и  получаем:

Применение теоремы об изменении количества движения к анализу быстропротекающих процессов (удар, взрыв и т.д.)

  Для решения подобных задач применяется интегральная форма записи теоремы об изменении количества движения механической системы:

где   – импульс силы  за время .

Пример 4.3

Масса ствола орудия . Масса снаряда . Определить скорость  свободного отката ствола орудия в момент вылета снаряда из ствола, если скорость снаряда у дульного среза равна  (Рис. 4.3).

Система внешних сил состоит из сил тяжести ствола и снаряда и силы реакции опоры ствола. Оценим влияние силы тяжести на изучаемый процесс. В первом приближении будем считать давление пороховых газов постоянным за время . Тогда движение снаряда в канале ствола можно считать равноускоренным при нулевых начальных условиях. В таком случае имеем:

Примем для определенности длину канала ствола равной  Тогда

Рис. 4.3

Максимальная проекция на ось  импульса силы тяжести снаряда (при ) составит

в то время как импульс силы давления пороховых газов составит

Понятно, что обычные силы (силы тяжести, реакции опор) создают импульс, пренебрежимо малый по сравнению с импульсом ударных сил, так что . Учитывая, что в начальный момент система покоилась, получаем  

Количество движения рассматриваемой системы складывается из количеств движения ствола и снаряда

Определение динамических реакций связей при заданном движении механической системы

    Этот вопрос решается с одинаковой степенью сложности как с помощью теоремы об изменении количества движения, так и на основе теоремы о движении центра масс механической системы:

;   

Пример 4.4

Электродвигатель состоит из двух основных частей — статора, закрепленного на фундаменте болтами, и ротора, вращающегося равномерно с угловой скоростью  вокруг неподвижной оси  (Рис. 4.4). Центр масс статора находится в точке , ротора — в точке  Масса статора равна , ротора —  Определить суммарные составляющие реакций болтов и горизонтального фундамента.

Главный вектор сил реакций болтов и фундамента представим горизонтальной  и вертикальной  составляющими. Искомые величины определяем, например, при помощи теоремы о движении центра масс механической системы, из которой в рассматриваемом случае получаем в проекциях на координатные оси уравнения:

где  – масса системы.

Рис. 4.4

Определяем координаты центра масс  электромотора:

где  – координаты точки  – координаты точки .

Дифференцируя последние равенства дважды по времени, и учитывая, что статор неподвижен  получаем:

Подставляя  в , находим:

Полученный результат показывает, что реакции опор будут пульсирующими, что недопустимо при работе многих механизмов (маховики, двигатели, турбины и т.д.). Заметим, что динамические реакции не будут отличаться от статических, если центр масс вращающейся части механизма (ротора) будет расположен на оси вращения .