Определение относительных скоростей и  относительных перемещений тел системы

Рассмотрим задачи, в которых при условии сохранения проекции количества движения на какую-либо ось необходимо определить взаимные относительные перемещения отдельных частей механической системы.

Пусть система внешних сил, приложенных к механической системе, такова, что сумма проекций всех сил на какое-либо направление равна нулю:

В этом случае, например,  из теоремы о движении центра масс получаем:

          и, следовательно,    ,

где   – проекции начальной и конечной скоростей точки с номером .

Если в начальный момент система находилась в покое, то

     и, следовательно,    

Рассмотрим два состояния системы – начальное и конечное. По определению центра масс механической системы, получаем:

где  и  – соответственно начальные и конечные координаты точек. Отсюда, учитывая что  получаем:

Пример 4.5

Два груза  (тело 1) и  (тело 2) с массами  и  соответственно, соединенные нерастяжимой нитью, переброшенной через блок , скользят по боковым поверхностям призмы (тело 3), опирающейся на гладкую горизонтальную плоскость (Рис. 4.5). Определить перемещение призмы по горизонтальной плоскости, если груз  опустится на высоту . Масса призмы равна  массой блока и нити пренебречь.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из трех тел. В этом случае система внешних сил состоит из сил тяжести и нормальной реакции опорной поверхности, причем справедливо равенство   и, следовательно, справедливо равенство . Найдем горизонтальные перемещения тел:

Рис. 4.5

Получаем:

Отсюда:

Определение динамических реакций, возникающих при течении жидкости

Для определения динамических реакций стенок каналов, труб, водоводов, возникающих при установившемся течении жидкости, используется теорема об изменении количества движения в интегральной или дифференциальной формах:

    или           ,

где   – импульс силы  за время .

Пример 4.6

Определить горизонтальную составляющую  силы давления на опору колена трубы, возникающую при движении воды. Труба постоянного сечения имеет радиус , вода течёт с постоянной скоростью  (Рис. 4.6).

Рис. 4.6

При стационарном течении несжимаемой жидкости на прямолинейных участках трубы количество движения частиц жидкости не изменяется, так как скорость частиц постоянна.

В качестве механической системы рассматриваем массу жидкости, заключённую в начальный момент времени  в объёме между сечениями  и , проведёнными на прямолинейных участках трубы. За элементарный промежуток времени  рассматриваемая масса переместится и займёт положение между сечениями  и .

Вычислим изменение количества движения:

,

где

 – количество движения массы жидкости в объёме между сечениями  и ;

 – количество движения массы жидкости в объёме между сечениями  и ;

 – количество движения массы жидкости в объёме между сечениями  и .

  Как видно, изменение количества движения жидкости за время  равно разности количеств движения  вытекающей из первоначального объёма жидкости и количества движения  жидкости, втекающей в этот объём. 

В проекциях на горизонтальную ось  имеем:

,

где  – плотность жидкости. Отсюда:

.

Заметим, что единственная внешняя сила, которая имеет ненулевую проекцию на ось , это горизонтальная составляющая силы реакции стенок трубы :

.

Учитывая третий закон Ньютона, получаем искомую горизонтальную силу давления воды на стенки трубы:

.

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:

Из сборника задач И.В.Мещерского: 35.7; 35.10; 35.11; 35.14; 35.17; 35.18; 35.19; 35.20; 36.9; 36.10; 36.11; 36.12; 36.13.

Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплект СР-29.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4