Уравнения Лагранжа 2–го рода

Общее уравнение динамики (7.7) даёт возможность составлять дифференциальные уравнения движения, не содержащие реакций идеальных связей. Для сравнительно простых механических систем непосредственное применение этого уравнения вполне оправдано, однако, в более сложных случаях использование общего уравнения динамики приводит, как правило, к относительно сложным преобразованиям. Поэтому значительно удобнее пользоваться не общим уравнением динамики, а вытекающими из него уравнениями Лагранжа 2–го рода, в которых для голономных систем основные трудности преобразований преодолеваются уже в общем виде.

Уравнения Лагранжа 2-го рода имеют вид:

где

 – кинетическая энергия системы;  – обобщенная координата;  – обобщенная скорость;  – обобщенная сила;  – число степеней свободы системы.

Пример

Каток , представляющий собой сплошной однородный цилиндр массы  радиуса , катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. К оси катка привязан трос, переброшенный через неподвижный блок  и растягиваемый грузом , масса которого  (Рис.7.11). Блок  представляет собой сплошной однородный цилиндр массы . В начальный момент система находится в покое, пружина не растянута. Определить движение системы, предполагая, что при качении катка возникает постоянный момент сопротивления .

Рис. 7.11

Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат примем координату  оси катка и удлинение пружины . Вычислим кинетическую энергию системы:

Уравнения Лагранжа 2–го рода в рассматриваемом случае имеют вид:

Кинетическая энергия в рассматриваемом случае не зависит явным образом от обобщенных координат, поэтому

Вычислим частные производные по обобщенным скоростям:

Для вычисления обобщенных сил используем формулы (7.23): пусть  тогда

пусть  тогда

где  — коэффициент жесткости пружины.

Положим для определенности  В этом случае уравнения Лагранжа примут вид:

Интегрируя полученную систему уравнений при нулевых начальных условиях, находим:

где

причём,

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что называется обобщённой координатой и обобщённой скоростью?
2. Что называется обобщённой силой и как её вычислить?
3. Как выглядят уравнения Лагранжа 2-го рода?

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1

ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Пример 1.1

Груз  массы , подвешенный на нити длины , другой конец которой закреплен в точке , представляет собой конический маятник, т.е. описывает окружность в горизонтальной плоскости (Рис.1.1). Нить образует с вертикалью угол . Определить скорость груза  и силу натяжения нити .

Рис.1.1

Рассмотрим движение груза , который по условию задачи можно считать материальной точкой. Поскольку траектория точки известна, используем уравнения движения в проекциях на оси естественного трёхгранника. В рассматриваемом случае эти уравнения имеют вид:

Последнее уравнение позволяет определить силу :  Из первого уравнения можно сделать вывод, что в процессе движения скорость точки не изменяет свою величину; определить эту величину можно из второго уравнения:

Заметим, что в решении фигурирует сила реакции нити, но искомая сила натяжения нити равна ей по модулю.

Пример 1.2

Автомобиль массы  движется по выпуклому мосту равномерно со скоростью  (Рис.1.2). Радиус кривизны в середине моста . Определить силу давления автомобиля на мост в момент прохождения его через середину моста.

Рис.1.2

Рассмотрим автомобиль в верней точке моста. Силы, действующие в направлении касательной к траектории – сила трения, сила сопротивления воздуха неизвестны. В направлении главной нормали к траектории действуют известная сила тяжести и нормальная реакция опоры, которую и требуется определить. Поэтому запишем уравнение движения в проекциях на главную нормаль к траектории. В рассматриваемом случае это уравнение принимает вид:

   отсюда:  

По третьему закону Ньютона сила давления автомобиля на мост по модулю равна нормальной реакции.

Пример 1.3

Решето рудообогатительного грохота движется поступательно по вертикали по закону . Найти наименьшую частоту  колебаний решета, при которой куски руды, лежащие на нем, будут отделяться от него и подбрасываться вверх.

Рис.1.3.

Направим ось  вертикально вверх (Рис.1.3). Дифференциальное уравнение движения имеет вид:

Отсюда:

Минимальное значение нормальная реакция принимает в верхней точке, где :

Если кусок руды отделяется от решета, то    отсюда

Пример 1.4

Материальная точка массы  совершает прямолинейное движение под действием силы, изменяющейся по закону , где  и  — постоянные величины. В начальный момент точка имела скорость . Найти уравнение движения точки.

Направим ось  вдоль прямой, по которой движется точка, совместив начало отсчета с начальным положением точки. На основании второго закона Ньютона в проекции на ось  получаем:

Интегрируя полученное дифференциальное уравнение движения точки

определяем зависимость ее скорости от времени:

Поскольку , полученное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение относительно функции :

интегрируя которое, определяем закон движения точки:

Пример 1.5

На какую высоту  и за какое время  поднимется тело весом , брошенное вертикально вверх со скоростью , если сопротивление воздуха может быть выражено формулой , где  — скорость тела?

Направим ось  вертикально вверх, полагая  на поверхности Земли (Рис.1.4). Дифференциальное уравнение движения имеет вид:

или, учитывая что , вид:

Рис.1.4

Уравнение  представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Чтобы получить зависимость скорости от времени, выполняем интегрирование с переменным верхним пределом. Учитывая начальные условия, получаем:

отсюда:

Теперь мы имеем возможность определить время подъема тела на максимальную высоту. Подставляя в уравнение (с) условия

при            получаем   

Остается определить максимальную высоту подъема . Уравнение   можно рассматривать как дифференциальное уравнение относительно функции , поскольку , но интегрирование уравнения

представляется неудобным.

Помимо зависимости , для определения  нас вполне устраивает зависимость , поскольку скорость в верхней точке известна: . Перейдем в уравнении   от производной по  к производной по , полагая

Уравнение   принимает вид:

Интегрируя уравнение  

                           получаем:          

Заметим, что соотношение  представляет собой одну из форм записи теоремы об изменении кинетической энергии, которую мы докажем позднее.