Вычисление кинетической энергии абсолютно твердого тела

Получим формулы для вычисления кинетической энергии абсолютно твердого тела при некоторых его движениях.

1. При поступательном движении в любой момент времени скорости всех точек тела одинаковые. Полагая  получаем:

                                                                                  (5.9)

где  – скорость центра масс тела.

2. При вращении скорости точек тела пропорциональны расстояниям от точек до оси вращения. Полагая  получаем:

                                                                             (5.10)

где  – момент инерции тела относительно оси вращения.

3. При плоскопараллельном движении тело скорость любой точки тела складывается из скорости центра масс и скорости, полученной точкой в её движении относительно системы Кёнига: . Для кинетической энергии механической системы получаем:

где  – масса всей системы;  – кинетическая энергия, полученная механической системой в ее относительном движении по отношению к системе Кёнига. Напомним, что скорость центра масс  в системе Кёнига равна нулю .

По отношению к системе Кёнига тело совершает вращение вокруг оси . Таким образом,

                                                                                                              (5.11)

где  – момент инерции тела относительно оси  

Некоторые частные случаи вычисления работы силы

Работа силы тяжести

При вычислении работы силы тяжести будем считать, что мы рассматриваем ограниченную область пространства вблизи поверхности Земли, размеры которой малы по сравнению с размерами Земли.

Направим ось  вертикально вверх. Точка  с массой  перемещается по некоторой траектории из положения  в положение  (Рис.5.2). Проекции силы тяжести на оси координат равны:  где  – ускорение свободного падения.

   Вычислим работу силы тяжести:

Рис. 5.2

Как видно, сила тяжести – потенциальная сила.  Ее работа не зависит от траектории точки, а определяется перепадом высот  между начальным и конечным положениями точки, будучи равной убыли потенциальной энергии  материального тела.

Таким образом,

Работа силы тяжести положительна, если точка теряет высоту (опускается) и отрицательна, если точка набирает высоту.

Работа упругой силы

Понятие упругой силы обычно ассоциируется с реакцией линейно–упругой пружины. Направим ось  вдоль пружины в сторону ее растяжения. Под  понимаем удлинение пружины (  – длина нерастянутой пружины).

Рис. 5.3

      Сила реакции пружины пропорциональна ее удлинению  где  – коэффициент жесткости пружины. Разложим вектор скорости точки  на две составляющие, одна из которых  направлена вдоль пружины и определяет скорость ее растяжения, а вторая  перпендикулярна пружине и определяет скорость точки , полученную при повороте пружины без изменения ее длины (Рис. 5.3).

Вычислим мощность упругой силы:

так как                                   

Работа упругой силы при перемещении конца пружины из  в  оказывается равной

Как видно, упругая сила потенциальна. Потенциальная энергия тела  равна . Заметим, что если поворачивать пружину вокруг шарнира , не изменяя ее длины, то упругая сила не совершает работу.

Работа вращающего момента

Рис. 5.4

Пусть сила  приложена в некоторой точке тела, имеющего ось вращения. Тело вращается с угловой скоростью . Вычислим мощность и работу силы. Точка приложения силы описывает окружность. Разложим силу на составляющие по осям естественного трехгранника (Рис. 5.4):

Работу будет совершать только составляющая , направленная по касательной к траектории точки :

где  – момент силы  относительно оси вращения тела.