Уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода.

Рассмотрим движение электрона с зарядом -e в поле ядра с зарядом +Ze. Значение Z = 1 соот­ветствует атому водорода Н, значение Z = 2 - однократно ионизованному иону гелия Не+, значение Z = 3 - дважды ионизованному атому лития Li2+ и т.д. Такой атом (ион) называется водородоподобным атомом — атомом с одним электроном.

Ядро считают неподвижным, т.к. его масса значительно больше массы элек­трона. Размеры ядра (10-12 – 10-13 см) значительно меньше размеров атома (10-8 см), и ядро в системе атома трактуют точечным зарядом с началом координат в этой точке. Точечный заряд +Ze будет создавать вокруг себя электрическое поле, потенциал которого φ на расстоянии r от ядра равен φ = Ze/r.

С учетом U(∞) = 0 потенциальная энергия электрона на расстоянии r от ядра:   (49.2)

Представим натянутую струну с закрепленными концами. Концы струны - узлы стоячей волны, и вдоль струны укладывается целое число полуволн. Теперь представим струну длины l согнутой в кольцо. Концы струны замыкают узлы и должны колебаться одинаково. Это значит, что фазы этих точек могут отличаться на 2πn и устойчивое волновое движение на кольцевой струне возможно, если вдоль струны укладывается целое число волн nλ. По орбите с круговой скоростью о электрона движется волна де Бройля (рис. 20 пунктир). В стационарном состоянии длина волны  должна укладываться должна укладываться целое число раз (п = 1,2, ...) вдоль орбиты длиной 2πr и , что тождественно первому постулату Бора. Но для нахождения неизвестных υ и r нужно еще одно условие. Вдоль орбиты r = const значение электрического потенциала одинаково. Следова­тельно, условие (46.9) соблюдено. При движении вдоль окружности со скоростью υ центростремительное ускорение равно υ2/r. Произведение массы частицы m на это ускорение равно силе Ze2/r2. Тогда Ze2/r2 = mυ2/r и  (49.5)

Для нахождения r исключим υ из уравнений (49.4) и (49.5). Из (49.4) имеем:

Подставляя (49.6) в (49.5) находим Ze2/r = n2ℏ2/(m2r2), откуда  (49.7)

Получаем дискретный ряд разрешенных орбит. Для водорода (Z = 1) rп = п2r1 n20,529Å, где радиус первой, наименьшей разрешенной орбиты атома во­дорода r1= ℏ/mc2 = 0,529 Å. Тогда диаметр атома водорода (п = 1) составляет ~ 1 Å.

В правой части уравнения (49.5) величина тυ2 есть удвоенная кинетическая энергия К электрона. Левая часть представляет потенциальную энергию электро­на U(r) с обратным знаком. Таким образом, соотношение (49.5): - U= 2К.

Полная энергия Е =К + U = - U/2 + U = U/2. Подставляя U из (49.2), имеем:

Значения энергий Еп электрона, движущегося стационарно в поле ядра, обра­зуют дискретный ряд, отвечающий ряду возможных значений r (49.7):

(49.13)

При выбранной в (49.2) нормировке потенциальной энергии (U=0, при r = ∞) значения полной энергии в стационарных состояниях атома Е, отрицательны. При п → ∞ rn→∞ получаем Еп →0.

Движению на разрешенной орбите отвечает стационарная волна, амплитуда которой остается со временем неизменной. Неизменной волне должно отвечать неизменное распределение заряда. Таким образом, движение электрона вдоль ор­биты следует уподоблять не вращению заряженной дробинки, а замкнутому по­стоянному электрическому току I. Такой вращающийся заряженный «обруч» об­ладает механическим моментом импульса и направленным в противоположную сторону постоянным магнитным моментом

Кратные элементарному магнитному моменту

(т.к. заряд электрона отрицательный)

называемому «магнетоном Бора». Такой микроскопический замкнутый ток созда­ет вокруг себя постоянное магнитное поле. Отдельные заряженные элементы об­руча вращаются, но распределение заряда в пространстве остается неизменным, так что электрическое поле электрона также постоянно. Следовательно, электрон, находящийся на разрешенной стационарной орбите, не излучает.