Частица в потенциальной яме. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Квантовый гармонический осциллятор.

Результирующая си­ла, действующая на свободный электрон (в металле) со стороны ионов и всех ос­тальных электронов, равна нулю. Следовательно, потенциальная энергия электро­на внутри металла постоянна, и ее удобно назначить Uвнутр = 0. На границах ме­талла расположен двойной электрический слой, для преодоления которого нужно затратить работу выхода А. Поэтому потенциальная энергия электрона вне металла Uвнеш=A>0

Поместим начало координат 0 в центр бруска металла длиной l и направим ось x перпендикулярно его границам. Потенциальная энергия U(x) (рис. 15). Пока кинетическая энергия электрона в металле мала по сравнению с высотой стенок «потенциальной ямы» (Екин <<А) электронные волны испытывают на границах полное внутреннее отра­жение.

Если частица с энергией Е движется в области I по направлению потенциаль­ного барьера, то при Е < U0 она не сможет его преодолеть и отразится, изменив направление движения на обратное. В случае Е > U0 частица преодолеет потенци­альный барьер и попадет в область III, где будет продолжать дви­гаться с прежней энергией в положительном направлении оси X. В рамках квантовой механики в случае Е < U0 существует ве­роятность проникновения частицы через потенциальный барьер из области I в область III (туннельный эффект), а для Е > U0 сущест­вует определенная вероятность ее отражения.

Гармонический осциллятор массой т обладает кинетической и потенциальной энер­гией. Для одномерного осциллятора потенциальная энергия (рис.19) U(х) = (1/2)kx2, кинетическая энергия К = (p2)/(2m). В классической механике такой осциллятор совершает гармонические колебания с собственной частотой.

Амплитуда колебаний А и полная энергия E ~ A2 могут принимать любые значения от 0 до ∞.

В квантовой механике ψ-функция и возможные значения энергии опре­деляются из уравнения Шредингера

(48.43)

В результате решения уравнения (48.43) энергия осциллятора может прини­мать лишь дискретные значения (рис. 19 пунктир)

(48.45)

Вид волновых функций ψ0, ψ1 и ψ2 для первых трех значений энергии приве­ден на рис. 17.

Минимальная энергия осциллятора не равна нулю:E0= (1/2)hν (48.46)

а все энергетические ступеньки имеют одну высоту

Квантовый осциллятор в стационарном состоянии ничего не излучает. Излучение возникает при перехо­де осциллятора из данного энергетического состояния в ближайшее нижнее одним единственным фотоном. Это же относится и к поглощению излучения.