Нестационарное уравнение Шредингера. Стационарное уравнение Шредингера.

Нестационарное уравнение Шредингера. В 1926 г. Шредингер нашел урав­нение для ψ-функции электрона, не в свободном пространстве, а во внешнем поле.

Пусть частица движется вдоль оси х с точно определенным импульсом рх - р. Частица не локализована и описывается монохроматической волной с фазой φ = 2π(vt - х/λ). С учетом Е = hv и р- h/λ преобразуем это выражение к виду

φ =  (Et — px) = (Et — px).

ψ-функция комплексная, вида:

Продифференцируем ψ-функцию по координате х:

 и  (47.5)

Динамические переменные по известной ψ-функции определяются особым подходом: каждой динамической переменной сопоставляется определенная мате­матическая операция над ψ-функцией. Если применить к волновой ψ-функции математическую операцию , то значение динамической переменной рх = р получится в виде множителя при ψ. Представляющий динамическую переменную рх оператор  обозначим:  (47.6)

Уравнение (47.5) в принятых обозначениях:

          (47.7)

Операторы по составляющим импульса по осям у и z, имеют вид

и  

Применим один из этих операторов к Ψ -функции (47.4):

 аналогично

Рассматриваемая Ψ-функция описывает состояние, в котором составляющие импульса имеют значения: рх = р, ру = 0, pz = 0. Ψ-функцию (47.4) состояния с определенным значением импульса рх, называют собственной функцией импульса, а величину импульса в этом состоянии рх=p~ его собственным значением.

В поиске оператора энергии продифференцируем функцию (47.4) по времени

Сопоставляя полученное равенство с (47.5), находим:

Полная энергия состоит из суммы кинетической и потенциальной энергий: где

Примечание: квадрат оператора рх означает последовательное применение обоих опера­торов к одной и той же функции: (-iћ ;

Т.О., оператор кинетической энергии приобретает вид

( ∆

Где  ∆=(

Потенциальная энергия U (x,y,z) содержит только координаты, но не импульсы. Поэтому оператор потенциальной энергии U есть просто умножение на функцию U (x,y,z). Тогда оператор полной энергии (оператор Гамильтона):

. (47.19)

Применение к волновой функции  оператора 47.19 дает тот же результат, что и применение оператора (47.14), а именно

Уравнение Шредингера в развернутом виде:

{-                          (47.21)

с помощью которого отыскивается волновая функция Ψ(х, у, z, t) частицы, позво­ляет найти  в заданном внешнем поле.

Стационарное уравнение Шредингера.В стационарном состоянии энергия Е частицы неизменна во времени. Это значит, что волновая функция ψ должна быть собственной функцией оператора энергии E^ и применение этого оператора эквивалентно умножению у на постоянный множитель Е, т. е.

и уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид