Волновая функция, ее свойства и статистический смысл

Для представле­ния частицы корпускулой должны иметь смысл не только понятия координат и импульсов, но и сила, действующая на всю частицу, как целое. Но для этого во всей области локализации частицы ∆х величина силы должна быть постоянна:

f (r) | ∆x∆y∆z ≈ const        (46:9)

Это возможно, если градиент потенциальной энергии частицы во внешнем поле - медленно меняющаяся функция координат. Для классических объектов эти закономерности сформулированы в виде принципа причинности (46.2) и в макро­скопических электромагнитных полях электронных приборов условие (46.9) со­блюдается. Но в атоме напряженность электрического поля атомного ядра сильно меняется на расстояниях длины волны де Бройля λ. При величинах λ, ∆х и диа­метра атома одного порядка, область локализации электронов составляет весь объем атома, и условие (46.9) применимости к электрону классических представ­лений о траектории в атоме не соблюдено. Для объяснения постулатов Бора необ­ходимо сформулировать аналогичный принцип причинности для ψ-функции, по­зволяющий рассчитывать dψ / dt.

Соотношения (46.8) «неопределенностей» не содержат. Величина ∆х была бы неопределенностью в координате электрона х, если бы его пространственная ло­кализация была точечной, а ∆х - мерой ошибки в определении координаты х. В действительности электрон описывается волной де Бройля, локализованной в об­ласти пространства ∆х (см. рис. 13). Точно так же ∆рх было бы неопределенно­стью в составляющей импульса рх, если бы электрон описывался всегда мо­нохроматической волной с определенным значением λх. В действительности ограниченный волновой пакет содержит составляющие с разными значениями λ и рХ) и электрон описывается не одним значением рх, а рядом значений, в пределах от р|хдо р2х так что ∆рх =р2х-р1х.

Однако, эти соотношения все же обусловливают некоторые неопределенности. Пусть волновой пакет

(рис. 14) представляет движущийся электрон, а в точках А, В, С, D находятся ионы. Электрон может захватываться ионом, причем разность энергий свободного электрона и электрона на орбите отдается с излуче­нием в момент его захвата. В области D электронная волна равна нулю, и захват ионом D исключен. Но ионы А, В, С могут претендовать на захват электрона, и во­прос о том, каким же ионом будет захвачен электрон, не решается однозначно.

То же относится и к возможным значениям импульса электрона. При ди­фракции волнового пакета на дифракционной решетке (кристалле) волны с раз­ными λ пойдут по разным направлениям. Однако электрон из-за корпускулярных свойств разделиться не может. В результате дифракции след электрона на фото­пластинке будет обнаружен в одной из точек, отвечающих какому-то значению λ, представленному имеющейся в волновом пакете составляющей. Попадание элек­трона в точку, обусловленную длиной волны λ, не представленной в пакете, ис­ключается. Какая именно из составляющих волнового пакета проявит себя на опыте - не определяется однозначно. Можно указать лишь вероятности того, что электрон продифрагирует как частица с тем или иным (из имеющихся в пакете) значением λ, т. е. р. Вид волны де Бройля, т.е. ψ-функции, не позволяет судить о направленности возможных процессов, определяя лишь вероятность реализации каждого процесса. Величины вероятностей определяются амплитудами состав­ляющих волнового пакета ψ-функции. ψ-функция описывает одну частицу, но это описание имеет статистический смысл.

К смыслу ψ-функции можно подойти исходя из трактовки электромагнитной волны. Плотность энергии электромагнитной волны пропорциональна квадрату напряженности электрического и магнитного полей. В соответствии с этим |ψ|2dV физически толкуется как вероятность того, что действие электрона будет обнару­жено в элементе объема dV. Следовательно, |ψ|2 определяет плотность вероятно­сти обнаружения электрона. Интегральная сумма величин |ψ|2dV по всему про­странству есть вероятность обнаружения частицы в пространстве. Если частица существует, то вероятность достоверного события равна единице, и ψ-функция удовлетворяет условию нормировки:

∫|ψ|2dV~1

Область обнаружения электрона, где электрон обнаружил себя действием, не следует путать с областью его локализации, где ψ-функция отлична от нуля.