Частные производные функции двух переменных

Переменная z называется функцией двух независимых переменных х и у на некотором множестве точек , если каждой паре значений  из множества  соответствует определенное значение величины z.

Пишут:

.

С геометрической точки зрения функция  представляет собой поверхность.

Если при  отношение частного приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента  имеет конечный предел, то этот предел называется частной производной функции   по независимой переменной х в точке  и обозначается , или , или .

Таким образом, по определению

.

Аналогично,

.

Так как  вычисляется при неизменном значении переменной у, а  – при неизменном значении переменной х, определение частных производных можно сформулировать так: частной производной по х функции  называется обычная производная этой функции по х, вычисленная в предположении, что у есть постоянная; частной производной по у функции  называется ее производная по у, вычисленная в предположении, что х – постоянная.

Пример 1

Найти частные производные функции .

Решение

Пример 2

Показать, что функция  удовлетворяет уравнению .

Решение

Найдем частные производные

,

.

Подставим найденные выражения в левую часть уравнения:

 что и требовалось доказать.

Дифференциал функции двух переменных

Частным дифференциалом функции  называется произведение частной производной на соответствующее произвольное приращение независимой переменной:

выражение  называется частным дифференциалом функции по переменной х;

выражение называется частным дифференциалом функции по переменной у.

Пример 1

Найти частные дифференциалы функции

Решение

, .

Полный дифференциал функции равен сумме ее частных дифференциалов:

.

Пример 2

Найти дифференциал  функции .

Решение

Найдем частные производные

,

.

Подставим частные производные в формулу полного дифференциала, получим

.

Краткое содержание (программа) курса

Элементы линейной алгебры

Матрицы, операции над ними. Определители и их свойства и вычисление. Ранг матрицы, обратная матрица. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса.Система m линейных уравнений с n неизвестными. 

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Линейные операции над векторами. Декартова прямоугольная система координат. Координаты вектора. Направляющие косинусы и длина вектора. Скалярные и векторные величины. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

Прямая на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Геометрический смысл линейных неравенств и их систем. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола, их канонические уравнения. Аналитическая геометрияв пространстве. Уравнение плоскости в пространстве. Прямая в пространстве. Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве. Преобразование координат. Полярная система координат.