Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве

Векторные величины (векторы) – это такие величины, которые характеризуются не только своими числовыми значениями, но и направлением.

Для изображения векторных величин служат геометрические векторы. Геометрический вектор – это направленный отрезок.

Координатами вектора  в прямоугольной системе координат  называются проекции  вектора  на оси координат. Запись  означает, что вектор  имеет координаты .

Модуль вектора (его длина) вычисляется по формуле

.

Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами точек его начала и конца надо найти разности соответствующих координат его конца и начала, т.е. если задан вектор , где , то

.

Тогда модуль вектора  находится по формуле

.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними.

Обозначают: ( ) или . По определению

, где .

Пусть векторы заданы аналитически:

.

Выражение скалярного произведения через координаты                                                  перемноженных векторов:

.

Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле

.

Векторным произведением вектора   на вектор   называется вектор, обозначаемый символом  или , определяемый условиями:

1) модуль этого вектора равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними, т.е.

                                        ;

2) этот вектор перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов, т.е. плоскости, определяемой этими векторами;

3) направлен по перпендикуляру к этой плоскости так, что векторы  и  составляют правую тройку (т.е. если при наблюдении с конца вектора  кратчайший поворот от вектора   к вектору  происходит против часовой стрелки.)

Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах сомножителях – в этом состоит геометрический смысл модуля векторного произведения:

.

Пусть даны два вектора   и . Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов:

.

Смешанным произведениемтрех векторов  называется число, равное скалярному произведению вектора  на вектор , т.е. .

Если векторы  заданы своими прямоугольными координатами , то их смешанное произведение вычисляется по формуле

.

Геометрический смысл смешанного произведения: объем параллелепипеда, построенного на 3-х некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения

.

Тогда объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, находится по формуле

.

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Если ,  три данные точки, не лежащие на одной прямой, а  произвольная точка плоскости, то уравнение плоскости, проходящей через три точки, имеет вид

.

Уравнение прямой, проходящей через две точки пространства  имеет вид

.

Угол между прямой и плоскостью находится по формуле

,

где коэффициенты выбирают из канонических уравнений прямой

и общего уравнения плоскости

,

где  - вектор нормали к плоскости.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

.

Пример

Даны вершины треугольной пирамиды  Найти:

1) угол между ребрами  и ;

2) площадь грани ;

3) объем пирамиды ;

4) длину высоты, опущенной из вершины  на грань ;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины  на грань .

Решение

А4                              А2                                       В    А1                                        А3                   Рис. 2

1) Угол между ребрами  и  находим с помощью скалярного произведения векторов по формуле , найдем координаты векторов   тогда косинус угла между векторами .

2) Площадь грани  находим с помощью векторного произведения векторов. Найдем координаты вектора , тогда площадь треугольника находим по формуле

.

Найдем векторное произведение векторов

модуль векторного произведения равен

, 

откуда находим площадь треугольника

3)  Объем пирамиды находим с помощью смешанного произведения векторов по формуле

,

так как выше найдены координаты векторов

,

подставим координаты векторов в формулу, получим

.

4) Для нахождения длины высоты h, опущенной из вершины  на грань  применим формулу

,

откуда находим

5) Общее уравнение плоскости :

,

нормальный вектор плоскости .

Уравнение высоты : .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости: .

В нашем случае , тогда уравнение высоты имеет вид

Тема № 3

3.1. Раскрытие неопределенности вида .

Рассмотрим отношение функций . Пусть  – бесконечно большие функции (б.б.ф.) при , отношение   в этом случае называется неопределенным выражением вида . Для нахождения предела неопределенного выражения нужно избавиться от неопределенности (или раскрыть неопределенность).

Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степень, а затем перейти к пределу.

Пример 1

,

так как при  каждая из дробей  стремится к нулю.

Пример 2

.

Пример 3

.

Замечание. Из рассмотренных примеров видно, что предел частного двух многочленов при  равен отношению коэффициентов при старших членах, если степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе, равны; равен нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя; равен ¥, если степень числителя больше степени знаменателя.

3.2. Раскрытие неопределенности вида

Рассмотрим отношение функций . Пусть  – бесконечно малые функции (б.м.ф.) при , отношение   в этом случае называется неопределенным выражением вида .

Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо в числителе и знаменателе выделить критический множитель и сократить на него.

Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует избавиться от иррациональности, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Пример

Вычислить предел .

Решение

При  числитель и знаменатель дроби стремится к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель дроби умножим на сопряженное знаменателю выражение, т.е. на сумму , а квадратный трехчлен  разложим на множители, найдя для этого его корни:

,

тогда,

.

Таким образом, получим:

.