Решение систем линейных алгебраических уравнений

 (СЛАУр)

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

                                  .                           (1)

Если хотя бы одно из чисел  не равно нулю, то такая система называется неоднородной.Если же , то такая система называется однородной.

Решением системы (1) называется упорядоченная совокупность чисел , которая при подстановке в систему обращает все уравнения системы в верные равенства.

Если система имеет решение, то она называется совместной, если не имеет решения – то несовместной.Если система  имеет единственное решение, то она называется определенной, если более одного решения, то – неопределенной.

Формулы Крамера для решения СЛАУр

Если определитель системы , то эта система имеет единственное решение, которое можно получить по формулам Крамера.     Формулы Крамера имеют вид

,

где

.

В знаменателях этих формул стоит определитель системы , а в числителях – определители, которые получаются из определителя системы  заменой коэффициентов при соответствующих неизвестных столбцом свободных членов.

 Пример 1. 

Решить систему   по формулам Крамера.

Решение

Формулы Крамера: . Вычислим определители:

,

, тогда

, , .  

Итак, , , .  

Ранг матрицы

Пусть дана матрица .

Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров. Обозначение: rang A, r(А) или r.

Очевидно,  – меньшее из чисел m и n.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. Вычисление всех миноров отличных от нуля трудоемкая операция. На практике для вычисления r(A) используют метод Гаусса.

Элементарными преобразованиями называются следующие действия над матрицами:

1. Вычеркивание нулевой строки.

2. Умножение какой либо строки на число.

3. Прибавление к одной из строк другой строки, умноженной на любое число.

4. Перестановка двух столбцов или двух строк.

Теорема 1.Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.

Рассмотрим матрицу специального вида

в которой все «диагональные элементы»  отличны от нуля, а все элементы расположенные ниже диагональных, равны нулю. Такую матрицу будем называть трапециевидной. При r = n она будет треугольной.

Теорема 2.Ранг трапециевидной матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Теорема 3.Всякую матрицу можно с помощью конечного числа элементарных преобразований привести к трапециевидному виду.

Метод Гаусса вычисления ранга матрицы состоит в приведении матрицы к трапециевидному виду и в подсчете ее ненулевых строк.         

Пример 2.

Найти ранг матрицы .

Решение                                

~      ~  

На первом шаге первую строку матрицы умножили на (-2) и сложили со второй строкой, умножили первую строку на (-4) и сложили с третьей строкой. На втором шаге вторую строку умножили на (-3) и сложили с третьей строкой. Нулевую строку вычеркнули. Таким образом, ранг матрицы  r = 2.

Метод Гаусса решения СЛАУр

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУр)

Поставим задачу: исследовать данную систему, т.е. выяснить, не решая ее, совместна она или несовместна, а если совместна, то определенна она или неопределенна.

На все эти вопросы отвечает теорема Кронекера - Капелли.

Пусть дана матрица системы  .

Рассмотрим расширеннуюматрицу системы

.

Теорема Кронекера – Капелли.

СЛАУр совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы:

или .

Замечание

Если  и , где n – число неизвестных, то система определенна; если , то система неопределенна, если же , то система несовместна.

Метод Гаусса решения СЛАУр состоит в следующем.

1. Выписывают расширенную матрицу системы

и с помощью элементарных преобразований приводят ее к трапециевидному виду.

2. Применяя теорему Кронекера – Капелли, исследуют систему, получая один из случаев:

­– система совместна и определенна,

– система совместна и неопределенна,

– система несовместна.

Трапециевидная форма расширенной матрицы С в каждом из этих случаев имеет вид:

1)   С ~ , ,

  следовательно, система определенна, имеет единственное решение,

2) С ~ ,

следовательно, система неопределенна, имеет бесконечное множество решений,

3) если какая-либо строка матрицы С имеет вид , то система несовместна (решений нет).

3. Для решения системы, если оно существует, следует записать новую систему, отвечающую полученной трапециевидной матрице, которая является более простой по сравнению с исходной и решить ее (обратный ход).

Пример 3.

Исследовать и решить СЛАУр: .

Решение

Составим расширенную матрицу и проведем над ней эквивалентные преобразования для определения   и .

  ~     ~

~ ,

Таким образом, , следовательно, по теореме                                           Кронекера – Капелли система совместна и определенна.

Составим систему, соответствующую последней матрице, эквивалентную исходной:

Þ .

Таким образом, .

Пример 4.

Исследовать и решить СЛАУр: .

Решение                                    

~     ~

Так как , следовательно, система совместна и неопределенна (имеет бесчисленное множество решений).

Последней матрице соответствует система:

Þ

  где   и      – произвольные параметры.

Пример 5.

Исследовать и решить СЛАУр:

Решение

     ~        ~

Так как , то система несовместна (решений нет).

Пример 6.

Исследовать и решить СЛАУр: .

Решение

Таким образом, .

Тема № 2