Производная сложной функции

Пусть дана сложная функция  где  или .

Теорема. Если функция  дифференцируема в точке , а функция  дифференцируема в точке , тогда сложная функция  дифференцируема в точке , причем

 или     

Замечание. Теорема может быть обобщена на случай любой конечной цепочки функций. Так, если , или  и существуют производные , то .

Пример

Найти производную функции .

Решение

Здесь ,

, тогда .

Исследование функций и построение графиков функций

Одна из возможных схем исследования функции и построения ее графика включает следующие этапы решения задачи:

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Определить четность, нечетность.

4. Найти точки разрыва функции и асимптоты графика функции.

5. Исследовать функцию на экстремум, найти интервалы монотонности функции, точки максимума и минимума.

6. Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба.

7. Построить график функции.

Пример

С помощью методов дифференциального исчисления исследовать и построить график функции .

Решение

1. Область определения функции находится из условия: , т.е. .

2. Точки пересечения графика функции с осями координат:

с осью Оу, , точка ,

с осью Ох, , точка .

3. Четность, нечетность.

Функция  называется четной, если для любого х из области определения справедливо равенство . Функция  называется нечетной, если для любого х из области определения справедливо равенство . Если не выполнено ни одно из равенств, то функцию называют функцией общего вида.

В нашем случае, , следовательно, функция нечетная, а ее график симметричен относительно начала координат.

4.    Точки разрыва функции и асимптоты графика функции.

1) Вертикальные асимптоты. Прямая  является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов

или

равен  или .  Таким образом, для нахождения вертикальных асимптот следует найти все точки разрыва 2-го рода данной функции. Если точек разрыва нет, то нет и вертикальных асимптот.

Заданная функция имеет две точки разрыва второго рода  и , так как

, ,

, ,

следовательно, график функции имеет две вертикальных асимптоты  и .

2) Горизонтальные асимптоты. Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной асимптоты, когда .

Чтобы найти горизонтальные асимптоты графика функции, нужно найти пределы:

.

Если эти пределы конечны и различны, то прямые  будут горизонтальными асимптотами. Если какой-либо из этих пределов не существует или равен , то не существуют и соответствующие асимптоты.

Так как

,

то график функции имеет горизонтальную асимптоту .

3) Наклонные асимптоты. Пусть прямая  является асимптотой графика функции . Такую асимптоту называют наклонной. Для того, чтобы график функции  имел при  наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали оба предела:

.

Аналогично находится асимптота при .

Так как , то наклонных асимптот нет.

5. Исследование функции на экстремум.

Для определения интервалов возрастания и убывания функции и ее точек экстремума найдем первую производную:

.

Найдем критические точки, т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует, для чего приравниваем числитель к нулю:

, т.е. вещественных корней нет, следовательно, точек экстремума нет. Так как производная отрицательна во всей области определения функции, то она всюду убывает в этой области.

                      _                     _                  _     

                                                                                         х

                                     -6                 6                    у

6. Исследование на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.

Вычислим производную второго порядка:

Необходимое условие точки перегиба:  или не существует. Равенство  выполняется при , следовательно, эта точка является «подозрительной» на точку перегиба. Определим знак второй производной на всей числовой оси и укажем на ней интервалы выпуклости и вогнутости функции.

                  _               +             _              + 

                                                                                           х

                        -6          0          6          у

Так как при переходе через точку  вторая производная меняет знак, то точка с абсциссой  является точкой перегиба. Итак, точка перегиба имеет координаты .

7. Построение графика функции.

Тема № 4