Метод интегрирования подведением под знак дифференциала

Функция  называется первообразной для функции на интервале , конечном или бесконечном, если в любой точке  этого интервала функция  дифференцируема и имеет производную .

Совокупность всех первообразных для функции , определенных на интервале , называется неопределенным интегралом от функции  на этом интервале и обозначается символом

.

Метод подведения под знак дифференциала следует из свойства инвариантности неопределенного интеграла.

    Пусть дан интеграл . Справедливо равенство

,

где  – некоторая непрерывно дифференцируемая функция.

Таблица интегралов

1.	8.
2.	9.
3.	10.
4.	11.
5.	12.
6.	13.
7.	14.
15.

При интегрировании методом подведения под знак дифференциала необходимо иметь в виду следующие равенства:

В общем случае

.

Пример 1

Найти интеграл .

Так как , то

.

Пример 2

Найти интеграл .

Так как , то

.

Пример 3

Найти интеграл .

Так как , то

Пример 4

Найти интеграл .

Так как , то

.

Метод интегрирования по частям

Пусть дан интеграл вида , где  - непрерывно дифференцируемые функции. Справедлива формула интегрирования по частям

.

Таким образом, вычисление интеграла  приводится к вычислению интеграла , который может оказаться более простым или табличным.

Пусть  - многочлен степени n. Методом интегрирования по частям можно вычислить, например, интегралы вида:

1 группа:	2 группа:

Пример

Найти интеграл .

Решение

Положим , найдем , . Так как достаточно взять одну из первообразных, то принимаем . Применим формулу интегрирования по частям

.

Вычисление площадей с помощью определенного интеграла

Пусть функция  определена и непрерывная на отрезке  и пусть, для определенности,

Разобьем отрезок  на n частей произвольным образом точками деления: . Выберем на каждом частичном промежутке  произвольным образом точки .

Обозначим  Составим сумму , которая называется интегральной суммой для функции  на отрезке .

Обозначим длину наибольшего частичного промежутка через  Перейдем к пределу при .

Если существует конечный предел , не зависящий от способа разбиения отрезка  на частичные и выбора на них точек , то он и называется определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначается

Если  – любая первообразная для функции , то справедлива формула Ньютона – Лейбница:

,

т.е. для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции    нужно составить разность значений произвольной ее первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Пример 1

Если  то  численно равен площади криволинейной    трапеции,     ограниченной кривой ,

прямыми  и осью ох:  

Если  меняет знак конечное число раз на отрезке , то интеграл по всему отрезку разбивается на сумму интегралов по частичным отрезкам, интеграл будет положителен там, где  и отрицателен, где : 

.

Пусть нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми  и  и прямыми , тогда при условии  имеем

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

Решение

у                                     у=х+3       у=х2+1   3           –3 –1 0  2              х

Найдем точки пересечения: ,

.

Тема № 5