Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела

Одна из форм записи второго замечательного предела

.

Второй замечательный предел раскрывает неопределенность вида .

Пример

Вычислить предел .

Решение

Предел основания , а показатель степени  при , т.е. имеет место неопределенность вида . Выделим целую часть основания степени

и применим второй замечательный предел:

, учитывая, что .

Непрерывность функции

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки .

Определение. Функция  называется непрерывной в точке , если она имеет предел в точке  и этот предел равен  – значению функции  в точке :

. 

Таким образом, для того чтобы функция  была непрерывна в точке , необходимо и достаточно выполнение трех условий:

1) функция  должна быть определена в точке ;

2) должны существовать пределы функции  при  как слева, так и справа, т.е.  и ;

3) эти пределы должны быть равны между собой и равны значению функции  в точке , т.е. .

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то говорят, что функция имеет разрыв в точке  и точку  называют точкой разрыва функции .

Точки разрыва следует искать среди точек, не входящих в область определения функции.

Классификация точек разрыва

Определение. Если в точке  функция  имеет пределы слева и справа и они равны между собой, а в точке  

или функция не определена, то точка  называется точкой устранимого разрыва функции .

В этом случае функцию можно доопределить в точке  так, чтобы она стала непрерывной, т.е. положить

.

Определение. Если в точке  функция  имеет конечные пределы слева и справа, причем , то точка  называется точкой разрывафункции  1-го рода.

При переходе через точку  значение функции  претерпевает скачок, измеряемый разностью .

Определение. Точка  называется точкой разрыва 2-го рода, если в этой точке хотя бы один из пределов (справа или слева) не существует или равен .

Пример

В точках  и  для функции  установить характер точек разрыва.

Решение

Область определения функции . Данная функция непрерывна во всех точках, кроме точек  и , которые не входят в область определения функции.

Исследуем точку , находя ее односторонние пределы в этой точке:

если , то , тогда предел слева ,

если , то , тогда предел справа .

Так как односторонние пределы конечны, но не равны между собой, то в точке  функция   имеет разрыв 1-го рода (скачок функции).

 Исследуем точку , находя ее односторонние пределы в этой точке:

если , то , тогда ,

если , то , тогда .

Так как односторонние пределы равны , то в точке  функция  имеет разрыв 2-го рода.

Правила дифференцирования

Определение. Производной функции  в данной точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при , если он существует.

По определению

.

Таблица производных

№		№
1	,	10
2		11
3		12
4		13
5		14
6		15
7		16
8		17
9		18

Правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна нулю: .

2.

Теорема. Если каждая из функций  и  дифференцируема в данной точке х, то сумма, разность, произведение и частное (частное при условии ) так же дифференцируемы в этой точке, причем имеют место формулы:

1) ,

2) ,

3) .

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

.

Пример

Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производную функции .

Решение