Обтекание тел при малых возмущениях

Если плоский равномерный поток газа подвергается малым возмущениям , то при направлении оси  вдоль вектора  можно записать

; ,                                   (12.81)

где ,  –  проекции скорости возмущенного движения.

Если пренебречь квадратами и произведениями этих величин, то в линейном приближении

;                              (12.82)

;                                (12.83)

;                                (12.84)

,                                 (12.85)

где  – коэффициент давления.

Составляющая скорости возмущения  определяется через потенциал малого возмущения

,                                         (12.86)

причем

Потенциал скорости при малых возмущениях удовлетворяет уравнению

                          (12.87)

Рис. 12.6. Распространение малых возмущений в дозвуковом (а), звуковом (б) и сверхзвуковом (в) потоках газа

Если в равномерном потоке газа точка А (рис. 12.6) является источником малых возмущений (малых изменений плотности и давления), то эти возмущения в виде слабой волны распространяются в потоке. В зависимости от скорости потока фронты волн возмущения могут занимать одно из положений, показанных на рис. 12.6. В дозвуковом течении (рис. 12.6, а) фронты волн возмущения представляют собой окружности радиусом , смещаемые вниз по течению на расстояние , где  – время с момента возникновения возмущения.

При сверхзвуковой скорости потока газа волны возмущений также имеют вид окружностей, но в силу условия  область их распространения ограничивается прямыми AM и AN (для осесимметричного потока – поверхностью конуса), называемыми линиями возмущения, или линиями Маха. Эти прямые образуют с вектором скорости угол Маха, определяемый формулой

.                                  (12.88)

Течение при дозвуковых скоростях. При ( ) замена переменных  приводит уравнение для потенциала скорости к уравнению Лапласа , т.е. к уравнению, которому удовлетворяет потенциал скорости несжимаемой жидкости. Поэтому при обтекании дозвуковым потоком газа тонкого профиля с малым углом атаки задача приводится к задаче обтекания профиля несжимаемой жидкостью. Формулы пересчета согласно теории Прандтля - Глауэрта имеют вид:

для коэффициента давления

;                                    (12.89)

для коэффициента подъемной силы

,                                  (12.90)

где индексом «н» отмечены параметры потока несжимаемой жидкости.

Течение при сверхзвуковых скоростях. Линеаризованное уравнение потенциала скорости заменой переменных ,  приводится к уравнению гиперболического типа

,                                (12.91)

имеющему общее решение в переменных , :

,          (12.92)

где ,  – произвольные функции.

Два семейства прямых, совпадающих с линиями возмущения линеаризованного потока и описываемых формулой , являются характеристиками уравнения (12.91).

Сверхзвуковое обтекание малого угла, образованного плоскими стенками (рис. 12.7). При таком течении из вершины угла выходит характеристика первого семейства, которая делит область течения на две части: невозмущенную и возмущенную. При обтекании выпуклого угла (рис. 12.7, а) поток ускоряется, а при обтекании вогнутого – замедляется (рис. 12.7, б).

Обтекание тонкого профиля с заостренными кромками. Задача может быть приближенно решена на основе линеаризованной теории. При этом плавный контур профиля заменяют ломаным (рис. 12.8) и последовательно решают задачу об изменении параметров потока при переходе через каждую линию возмущения, выходящую из точек излома. В результате получают следующие формулы для коэффициента давления:

для верхней поверхности, заданной уравнением ,

;                                (12.93)

для нижней поверхности, заданной уравнением ,

,                                    (12.94)

где  – угол атаки (рис. 12.8).

Рис. 12.7. Схемы обтекания сверхзвуковым потоком малого угла:

а – ускорение потока; б – торможение потока

Рис. 12.8. Расчетная схема обтекания тонкого профиля

линеаризованным сверхзвуковым потоком газа

Коэффициент подъемной силы

                                   (12.95)

Коэффициент волнового сопротивления

,                             (12.96)

где ; ; ; , причем  – максимальная толщина профиля;  – его хорда.

Момент сил давления относительно передней кромки

,                              (12.97)

где  – коэффициент момента,

,                             (12.98)

здесь  – коэффициент момента при нулевом угле атаки,

;                 (12.99)

 – площадь, равная .

Косые скачки уплотнения

При торможении сверхзвукового потока могут возникать поверхности разрыва, которые наклонены к вектору скорости под углом, отличным от прямого. Такие разрывы называются косыми скачками уплотнения (рис. 12.8).

Расчетная система уравнений косого скачка включает в себя уравнения:

неразрывности

;                                  (12.100)

количества движения (импульса) в проекции на нормаль к фронту скачка

;                          (12.101)

количества движения в проекции на направление, параллельное фронту скачка,

 или ;                   (12.102)

энергии

.                                 (12.103)

Рис. 12.8. Расчетная схема косого скачка уплотнения

Из этой системы выводятся соотношения между параметрами потока за скачком и перед ним:

для отношения давлений

;                     (12.104)

отношения плотностей

;                         (12.105)

отношения температур

; (12.106)

отношения давлений торможения

;    (12.107)

разности значений энтропии

.

(12.108)

Последняя формула показывает, что переход через косой скачок не является изоэнтропийным и сопровождается потерями механической энергии.

Связь между углом наклона фронта скачка  и углом поворота потока в скачке  определяется формулой

,                (12.109)

из которой следует, что кривая  имеет максимум, т.е. существует угол наклона скачка , соответствующий максимально возможному отклонению потока в скачке . Значения  определяются из уравнения

. (12.110)

Кроме того, каждому значению  отвечают два значения . Скорость потока за скачком  связана со скоростью  перед скачком соотношением

,      (12.111)

откуда следует, что для каждого значения  существует некоторое значение , при котором . При  поток за скачком остается сверхзвуковым (слабые скачки), при  он будет дозвуковым (сильные скачки). Для определения  служит уравнение

(12.112)

Рис. 12.9. Расчетная номограмма косых скачков уплотнения

Номограмма для расчета параметров косых скачков приведена на рис. 12.9.

Вопросы для самопроверки:

1. Какое течение газа называется адиабатным?

2. Что понимается под «идеальным» газом?

3. Что понимается под изоэнтропным течением газа?

4. Какие газодинамические функции описывают адиабатное течение идеального газа?

5. Каковы закономерности изменения параметров одномерного адиабатного течения газа вдоль трубы переменного сечения?

6. Каковы характеристики критического сечения сопла Лаваля?

7. Что понимается под прямым скачком уплотнения и каковы условия его возникновения?

8. Каково предельное уплотнение в прямом скачке?

9. Каким параметром оценивается потеря механической энергии в скачке уплотнения?

10. Каковы соотношения между параметрами газового потока в двух сечениях трубы при его адиабатном течении?

11. Каков характер распространения малых возмущений в дозвуковом, звуковом и сверхзвуковом потоках газа?

12. Что понимается под косым скачком уплотнения?

Заключение

Рассмотренные выше общие законы и уравнения статики и динамики жидкостей и газов, вопросы подобия гидромеханических процессов, схемы применения численных методов и их реализация на ЭВМ, по мнению авторов издания, являются базой для изучения ряда дисциплин профессионального цикла, имеющих важное прикладное значение. Указанные теоретические аспекты позволяют выполнять расчеты и проектирование гидромашин, гидроприводов, водо-, газо-, теплоснабжения и других сложных инженерных систем, работа которых основана на законах гидрогазодинамики.

Конспект лекций является теоретической основой для изучения дисциплин «Гидрогазодинамика» и «Механика жидкости и газа» студентами бакалавриата направлений 13.03.01 «Теплоэнергетика и теплотехника», 15.03.01 «Машиностроение», 15.03.02 «Технологические машины и оборудование», 20.03.01 «Техносферная безопасность» и будущими инженерами по специальности 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений». Кроме того, базовая часть издания, связанная с рассмотрением законов гидростатики и гидродинамики, может быть использована при изучении дисциплины «Гидравлика» студентами других технических направлений, реализуемых в вузе.

При проектировании курса на основе представленных лекционных занятий разрабатываются лабораторно-практические задания, материалы для самоконтроля и промежуточного контроля степени освоения материала. В процессе обучения создаются образовательные ситуации, в которых студенты решают практические задачи в индивидуальной и групповой работе, то есть реализуется методологическая технология проектного обучения с использованием ЭВМ. Кроме того, используются технологии организации самостоятельной работы и балльно-рейтинговой оценки результатов обучения.

Список литературы

1. Давидсон, В. Е. Основы гидрогазодинамики в примерах и задачах/ В. Е. Давидсон. – М.: Академия, 2008. – 319 с.

2. Жуков, Н. П. Гидрогазодинамика: учебное пособие/ Н. П. Жуков. – Тамбов: Изд-во ФГБОУ ВПО «ТГТУ», 2011. – 92 с.

3. Касилов, В. Ф. Справочное пособие по гидрогазодинамике для теплоэнергетиков/ В. Ф. Касилов. – М.: Изд-во МЭИ, 2000. – 272 с.

4. Кудинов, А. А. Гидрогазодинамика: учебное пособие/ А. А. Кудинов. – М.: НИЦ ИНФРА-М, 2015. – 336 с.

5. Моргунов, К. П. Гидравлика: учебник/ К. П. Моргунов. – СПб.: Лань, 2014. – 276 с.

6. Теоретические основы теплотехники. Теплотехнический эксперимент: справочник: в 2 кн. Кн. 2. Теплоэнергетика и теплотехника/ под ред. А. В. Клименко, В. М. Зорина. – М.: Изд-во МЭИ, 2001. – 564 с.

7. Штеренлихт, Д. В. Гидравлика/ Д. В. Штеренлихт. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: КолосС, 2005. – 655 с.

Оглавление

Учебное издание

ПОЗДЕЕВ Анатолий Геннадиевич

КУЗНЕЦОВА Юлия Анатольевна

ГИДРОГАЗОДИНАМИКА

Конспект лекций

Редактор Л. С. Журавлева

Компьютерный набор и верстка Ю. А. Кузнецова

Дизайн обложки Е. А. Рыбакова

Подписано в печать 29.12.2014. Формат 60х84 1/16

Бумага офсетная. Усл. печ. л. 9,78:

Тираж 50 экз. Заказ № 5510

Поволжский государственный технологический университет

424000 Йошкар-Ола, пл. Ленина, 3

Редакционно-издательский центр

Поволжского государственного технологического университета

424006 Йошкар-Ола, ул. Панфилова, 17