Расчет пограничного слоя. Уравнение Кармана

Для расчета ламинарного пограничного слоя на поверхности с малой кривизной может быть использована функция, аппроксимирующая профиль скорости в виде полинома

  (10.19)

где ; ;  – параметры, характеризующие влияние градиента скорости внешнего потока на пограничный слой.

Для конфузорных течений ( >0) профиль скорости более полный в сравнении с профилем диффузорных течений ( <0). Граничные условия для выражения (10.19) имеют вид:

1) ; ; ; ;                            (10.20)

2) ; ; .

Допускается при выполнении расчетов пограничного слоя по формуле (10.19) использование закона трения  для случая обтекания пластины (табл. 10.1). Расчет относительных толщин вытеснения и потери импульса может проводиться по формулам:

;                                  (10.21)

                     .

Здесь применяется метод расчета пограничного слоя, в поперечных сечениях которого профили скорости подобны и отличаются только масштабами. Это подобие зависит от характера изменения скорости внешнего потока, т.е. от вида продольного градиента давлений. Влияние продольного градиента давлений с хорошим приближением оценивается интегралом

                 (10.22)

В расчетах как ламинарного, так и турбулентного пограничного слоев находит применение уравнение Кармана (уравнение импульсов):

                 (10.23)

где  – параметр аэродинамической кривизны поверхности профиля;  – число Маха на внешней границе пограничного слоя;  – формпараметр, характеризующий отношение количества движения рабочей среды, вытесненной из пограничного слоя во внешний поток, к количеству движения, потерянного средой в пограничном слое.

Более удобно уравнение Кармана в виде:

       (10.24)

В уравнении (10.24) распределения скорости  и плотности должны быть известны или найдены из предварительных расчетов обтекания идеальной рабочей средой тела, увеличенного в размерах на . Для определения закона трения в этом случае требуется знание профиля скорости в пограничном слое .

В практических расчетах турбулентного пограничного слоя находит применение упрощенная формула Кармана:

                       (10.25)

Влияние достаточно малых градиентов давления можно оценить интегралом

                        (10.26)

Вопросы для самопроверки:

1. Как оценивается степень турбулентности потока?

2. В чем суть гипотезы Прандтля?

3. Какова схема развития пограничного слоя?

4. Какие параметры входят в уравнение Кармана, используемое в расчетах пограничного слоя?

ЛЕКЦИЯ 11.ТЕПЛООБМЕН НА ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЕ

Уравнения Прандтля

Рассмотрим процесс конвективного теплообмена при обтекании плоской пластины. Гидродинамика потока при этом виде течения может быть описана в терминах теории пограничного слоя. Определив продольную скорость движения жидкости  и ее профиль в направлении оси y, нормальной плоскости пластины в виде , введем толщину пограничного слоя .

Отбрасывая в уравнениях Hавье-Стокса члены порядка , где l – длина пластины, получим систему уравнений Прандтля:

;          (11.1)

,                                  (11.2)

с граничными условиями:

 при y = 0;

 при ,                       (11.3)

где  – нормальная составляющая скорости;  – скорость вдали от пластины; x – продольная координата пластины; r – плотность жидкости;  – коэффициент кинематической вязкости жидкости; p – давление; t – текущее время.

Оценки режима движения будем осуществлять с помощью числа Рейнольдса , где  – скорость внешнего потенциального потока;  – расстояние от переднего края пластины до точки перехода к турбулентному режиму движения.

Интегрирование уравнения Прандтля по y в пределах от 0 до  для стационарного потока  дает

.      (11.4)