Интегральное уравнение пограничного слоя

Использование граничных условий позволяет записать интегральное уравнение пограничного слоя

,       (11.5)

где  – напряжение трения на стенке.

Введем два линейных параметра – толщину вытеснения скорости  и толщину вытеснения (потери) импульса  по соотношениям:

;                (11.6)

.         (11.7)

Уравнение Бернулли позволяет записать

,                           (11.8)

тогда интегральное уравнение пограничного слоя будет иметь вид

,                   (11.9)

где p – давление;  – напряжение трения на стенке.

Введя безразмерную толщину вытеснения энергии  и безразмерную функцию диссипации энергии  по соотношениям:

;                        (11.10)

,                              (11.11)

получим интегральное уравнение энергии для пограничного слоя в виде

.                               (11.12)

Представим профиль скорости  в виде многочлена

,                      (11.13)

где А, В, C, D – постоянные, определяемые из граничных условий

;  при y = 0;                    (11.14)

;  при .                   (11.15)

Удовлетворяя этим условиям, получаем значения постоянных:

.  (11.16)

Тогда кривая распределения скорости будет иметь вид

.                         (11.17)

Толщина вытеснения импульса составит

.            (11.18)

Напряжение трения на стенке равно:

,               (11.19)

где  – коэффициент объемной вязкости.

Положив , получим:

.                     (11.20)

Интегрирование дает , так как при x = 0 будет .

Перепишем это выражение в виде .

Напряжение трения на стенке теперь принимает вид

.                              (11.21)

Теплообмен при обтекании плоской пластины

Теплообмен при обтекании плоской пластины определяется изменением температуры жидкости от температуры на поверхности пластины  до температуры жидкости вдали от поверхности . Это изменение  происходит в слое толщиной , характеризующем толщину теплового пограничного слоя. Связь между толщинами  и  дается в зависимости от числа Прандтля :

.                                   (11.22)

Оценка членов, входящих в уравнение Фуpье-Киpхгофа для пограничного слоя, в стационарном режиме  позволяет записать

,      (11.23)

где  – изобарная теплоемкость среды; Т – температура;  – коэффициент теплопроводности.

Отношение  дает коэффициент температуропроводности.

Диссипативный член уравнения

                                     (11.24)

при разности температур для воздуха  при  м/сек пренебрежимо мал.

Интегрирование в пределах от 0 до  по направлению y при граничных условиях  при ;  при ;  при  приводит к  интегральному уравнению теплового пограничного слоя:

.               (11.25)

В этом случае локальный коэффициент теплообмена определяется по соотношению

, (11.26)

где – плотность теплового потока.

Вопросы для самопроверки:

1. Как записываются уравнения Прандтля, характеризующие гидродинамику потока при обтекании плоской пластины?

2. Как записывается интегральное уравнение пограничного слоя при обтекании плоской пластины?

3. От каких параметров зависит локальный коэффициент теплообмена?

4. Какова зависимость между толщиной пограничного слоя и толщиной теплового пограничного слоя?

ЛЕКЦИЯ 12.ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ