В трубе постоянного сечения

Расчетная система уравнений одномерного потока вязкого газа без энергообмена с внешней средой включает в себя:

уравнение неразрывности

;                                 (12.49)

уравнение состояния

;                                 (12.50)

уравнение энергии (Бернулли)

,                         (12.51)

где  – работа сил вязкости (потери), отнесенных к единице массы в движущемся газе.

Поскольку данное течение энергетически изолировано, температура и энтальпия торможения, а также критическая скорость постоянны ( const, const, const). С учетом этого из предыдущей системы можно получить

                           (12.52)

Поскольку всегда , дозвуковой поток (М < 1) под влиянием трения ускоряется (  > 0), а сверхзвуковой (М > 1) тормозится (  < 0). Непрерывный переход через скорость звука под влиянием только трения невозможен.

Соотношение между параметрами газового потока в двух сечениях трубы выражаются формулами:

;                             (12.53)

;                          (12.54)

.              (12.55)

Работа сил трения на участке трубы длиной  может быть приближенно выражена гидравлической зависимостью Вейсбаха-Дарси

,                                  (12.56)

где  – гидравлический коэффициент трения, зависящий от числа Рейнольдса, как и для несжимаемой жидкости;  – средняя скорость;  – диаметр трубы. Здесь для коэффициента трения употреблено обозначение , для отличия его от безразмерной скорости .

Используя эту зависимость, уравнение можно привести к виду

                       (12.57)

Полагая = const (что допустимо ввиду малого изменения числа Re по длине трубы), в результате интегрирования можно получить

,                    (12.58)

где  – расстояние между начальным сечением 1 и расчетным сечением трубы 2. Обозначая

                                     (12.59)

и определяя приведенную длину трубы как

,                                    (12.60)

уравнение представляем в форме

.                                 (12.61)

Так как при  функция  достигает минимума , то при заданном  и  достигается некоторая критическая максимальная приведенная длина трубы

                                   (12.62)

Зависимость  показана на рис. 12.5. При заданных  и длине трубы критическая скорость может быть достигнута в конце трубы.

Скорость дозвукового потока на входе в трубу заданной приведенной длины не может превышать значения, определяемого уравнением

                                      (12.63)

Если < 1 и заданное значение приведенной длины трубы , то на выходе < 1. Если же , то . При  реализация заданного значения  в начале трубы невозможна.

Рис. 12.5. Зависимость приведенной критической длины трубы

от начальной скорости  ( )

Если поток на входе в трубу сверхзвуковой ( > 1) и приведенная длина , то  т.е. на выходе из трубы поток сохранится сверхзвуковым (однако ). При > 1 и . Когда при > 1 задано , в некотором сечении трубы возникает скачок уплотнения, за которым устанавливается дозвуковой ускоренный поток.

Положение скачка, предполагая его прямым, определяем следующим образом. Скорости перед скачком  и за ним связаны формулой Прандтля

В то же время  связана с координатой скачка  уравнением

           (12.64)

С учетом того, что , можно написать

,       (12.65)

где  – приведенная длина трубы, откуда

                         (12.66)

Решая совместно два последних уравнения, находим  и .

Для обеспечения заданного значения  на входе в трубу заданной приведенной длины требуется вполне определенный перепад давлений между входным и выходным сечениями.

Если  – полное давление во входном сечении, а  – давление в среде, в которую газ вытекает из трубы, то значение , называемое располагаемым отношением давлений, будет определять массовый расход и другие параметры газа в данной трубе. Если на выходе из трубы устанавливается критическая скорость ( = 1), то соответствующее отношение давлений называется критическим:

                          (12.67)

При заданном располагаемом отношении давлений расчет истечений через трубу заданных размеров производят по следующей схеме. Выражая расход во входном сечении через полное давление  в выходном сечении через статическое давление, получаем

                         (12.68)

Ввиду адиабатности течения  и, следовательно,

                                (12.69)

Если , то  или

                                (12.70)

Скорости  и  связаны уравнением

                                (12.71)

Отсюда находятся скорости  и  как функции заданных величин  и . Приведенные уравнения справедливы при . Минимальное значение , при котором , определяют по уравнению

          (12.71)

При значениях на выходе из трубы

 и                                      (12.72)