Уравнение Бернулли для потока несжимаемой жидкости

К одномерным относятся течения, описываемые одной координатой. Для установившихся течений одномерное уравнение Бернулли для потока конечных размеров имеет вид

              (8.1)

где  геометрические высоты расположения центров тяжести сечений относительно горизонтальной плоскости сравнения (удельные потенциальные энергии сечений); ,  – избыточные давления; ,  – пьезометрические напоры (удельные потенциальные энергии давления); ,  – средние скорости в сечениях, определяемые как отношение расхода  к площади живого сечения S; ,  – скоростные (динамические) напоры (удельные кинетические энергии); ,  – коэффициенты кинетической энергии (коэффициенты неравномерности распределения местных скоростей по живым сечениям потока) ;  – местные скорости течения;  – плотность жидкости;  – ускорение свободного падения;  – полные потери напора (удельные потери энергии потока) (рис. 8.1). Индексы указывают на принадлежность к сечениям потока 1-1 и 2-2 соответственно. Составляющие полной энергии потока называются удельными, поскольку отнесены к единице веса жидкости.

При ламинарном течении в круглых трубах , при развитом турбулентном . В общем случае значение  зависит от формы эпюры скорости и может значительно превышать единицу. Компонент уравнения Бернулли выражает потерю удельной энергии между сечениями 1-1 и 2-2. В гидродинамике приняты следующие обозначения:  – гидродинамический, или полный напор;  – пьезометрический напор;  – скоростной напор, или «скоростная» высота.

Рис. 8.1. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

для потока несжимаемой жидкости

Основной причиной потерь энергии  в потоке жидкости являются силы вязкости, которые проявляются в виде потерь механической энергии и складываются из потерь по длине  и потерь на местные сопротивления ,

Потери по длине

Потери по длине возникают при течении жидкостей и газов по цилиндрическим трубам или каналам с постоянной по длине потока средней скоростью. В этих случаях потери напора определяются по формуле Дарси - Вейсбаха

                                           (8.2)

где  – длина потока, на котором возникают потери;  – средняя скорость; R – гидравлический радиус, определяемый как отношение площади нормального сечения потока к смоченному периметру ,

Для круглых труб , где  – диаметр трубы, и формула приобретает вид

                                        (8.3)

Потери энергии, выраженные в размерности давления, определяются по формуле

                                        (8.4)

Рис. 8.2. Зависимость гидравлического коэффициента трения

от числа Рейнольдса для круглых труб с однородной шероховатостью:

1-2 – зоны ламинарного и гладкостенного режимов; 3-4 – зоны доквадратичного и квадратичного сопротивлений; К-К – нижняя граница квадратичного режима; А – расчет по формуле ; Б – расчет по формуле ;

В – расчет по формуле Прандтля

Гидравлический коэффициент трения  в общем случае зависит от геометрических и физических условий на границах потока (формы поперечного сечения и шероховатости стенок) и числа Рейнольдса Re. Общий характер зависимости  от числа Re и шероховатости стенок для круглых труб по данным опытов Никурадзе показан на рис. 8.2. В этих опытах шероховатость создавалась искусственно и оценивалась средним размером выступа . Различаются следующие режимы течения: 1 – ламинарный; 2 – гладкостенный турбулентный; 3 – доквадратичный турбулентный; 4 – квадратичный турбулентный.

Таблица 8.1