Для решения задач гидродинамики

В теории комплексной переменной связь между функциями  и  называется условиями Коши-Римана.

При этом комплексная величина  является комплексной переменной , равной  (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Определение комплексной переменной  и

Таким образом, существует функция комплексной переменной , вещественная и мнимая части которой будут  и , т.е.

.                       (6.10)

Функция  называется комплексным потенциалом или характеристической функцией течения.

Производная  не зависит от направления дифференцирования (условие аналитичности) и полностью определяется положением точки в плоскости , заданной координатой z, т.е.

                                (6.11)

или

;                          (6.12)

.               (6.13)

С учетом условий  и  получим

                (6.14)

Величина и направление скорости  в комплексной плоскости (рис. 6.2) определится формулой

.                                     (6.15)

Производная от комплексного потенциала по координате равна скорости по абсолютной величине, а по направлению совпадает с зеркальным отображением вектора скорости относительно вещественной оси.

Величина  называется сопряженной скоростью.

Плоскость  является плоскостью годографа скорости.

Значение контурного интеграла равно

(6.16)

но

,                            (6.17)

а

.     (6.18)

Здесь  – циркуляция скорости по замкнутому контуру;  – объемный расход через замкнутый контур.

Для действительной части получим

,                          (6.19)

а для мнимой

.                       (6.20)

Можно поставить две задачи:

1) по заданному комплексному потенциалу найти ,  и поле скоростей;

2) зная контур обтекаемого тела и значение скорости на бесконечности, найти комплексный потенциал.

В качестве примеров рассмотрим простейшие потенциальные потоки.

Плоскопараллельный поток

Пусть комплексный потенциал имеет вид

.                        (6.21)

Если  вещественно (рис. 6.3), то

.                       (6.22)

Рис. 6.3. Поток при действительном

Из  находим ,  и эквипотенциали , имеющие вид

,                               (6.23)

а линии тока

.                                (6.24)

Проекции скоростей равны

;                             (6.25)

.                            (6.26)

При минимальных числах  (  – вещественно)

.            (6.27)

Эквипотенциальные линии и линии тока

 и .                    (6.28)

Проекции скоростей будут соответствовать

 и .            (6.29)

Если  – комплексное число, равное  (  и – вещественные положительные числа), то

.

(6.30)

Потенциал скорости  и функция тока  имеют вид

 и ,             (6.31)

а проекции скоростей равны

 и .       (6.32)

Уравнениями линий тока и эквипотенциалей будут

 или ;          (6.33)

 или .         (6.34)

Источник и сток

Вторым примером комплексного потенциала является функция

.                             (6.35)

При вещественном

(6.36)

Потенциал скорости и функция тока

 и .                              (6.37)

Линии тока и эквипотенциали источника и стока (рис. 6.4) определяются уравнениями

 и .

Рис. 6.4. Линии тока и эквипотенциали источника и стока

В цилиндрической системе координат

                  (6.38)

                                   (6.39)

Если , то возникает источник, а при  – сток. Начало координат является точкой, в которой скорость равна бесконечности.

Объемный расход источника (стока)

                    (6.40)

определяет мощность (обильность) источника (стока).

Комплексный потенциал в этом случае равен

.                                 (6.41)

Вихрь

Если  мнимое, то  и

,                         (6.42)

поэтому

,                     (6.43)

где  – вещественное число.

Тогда  и , а уравнения линий тока и эквипотенциалей

 и  (рис. 6.5).         (6.44)

Составляющие скорости

 и                  (6.45)

Циркуляция вдоль замкнутой линии

 или ,                      (6.46)

т.е.

.                                  (6.47)

Комплексный потенциал потока с циркуляцией равен

.                      (6.48)

Рис. 6.5. Линии тока и эквипотенциали вихря

Величина скорости

.                                   (6.49)

Движение соответствует циркуляционному потоку вокруг вихревой нити.

Диполь

Комплексный потенциал

                                     (6.50)

после подстановки  даст

,              (6.51)

откуда

 и .            (6.52)

Линии тока и эквипотенциали

; .           (6.53)

Это семейства окружностей с центрами, расположенными на оси  и .

Рис. 6.6. Диполь