Одномерное движение жидкости в трубе

Рассмотрим одномерное движение жидкости в трубе на участке 1-1 (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Движение жидкости на участке трубы

При равномерном движении эпюры скоростей  одинаковы в поперечных сечениях по длине трубы.

Составим уравнение равновесия суммы проекций внешних сил на ось движения Х, действующих на отсек 1-2, в виде

Силы давления приложены в центрах давления  и  и равны  и  где  и  – давления в центрах тяжести сечений  и

По смоченной боковой поверхности потока  где  – смоченный периметр, а l – длина отсека, действуют давления , направленные по нормали, и касательные напряжения

По всей смоченной поверхности действуют силы трения

Силы тяжести жидкости  в отсеке 1-2 в проекции на ось Х-Х равны

                              (7.1)

Из треугольника  и силового треугольника с гипотенузой  найдем

                                   (7.2)

и

                               (7.3)

Проекции всех сил дают уравнение

                (7.4)

что после перегруппировки и деления на  позволяет записать

                     (7.5)

Поскольку скоростной напор в равномерном движении постоянен, то есть , то потери напора равны

,                                          (7.6)

где , а  – гидравлический радиус.

Величина  – гидравлический уклон, поэтому основное уравнение равномерного движения будет иметь вид

                                           (7.7)

Величина касательных напряжений в большинстве задач квадратично зависит от скорости

,                                    (7.8)

где  – коэффициент местного трения.

Из предыдущего уравнения следует

                                 (7.9)

или

                                 (7.10)

Учитывая, что , и обозначив , получим формулу Дарси-Вейсбаха для потерь по длине

,                                (7.11)

где  – коэффициент трения, или коэффициент Дарси.

Обозначив , получим формулу

,                                  (7.12)

которая называется формулой Вейсбаха.

Это обобщение формулы Дарси-Вейсбаха дает возможность рассчитывать местные сопротивления.

Из формулы Дарси-Вейсбаха (7.11) с учетом  и  получим формулу Шези

     (7.13)

где  – коэффициент Шези с размерностью в СИ ;  – модуль скорости с размерностью

Режимы движения жидкости. Число Рейнольдса

Механизм перемещения отдельных частиц изучался О. Рейнольдсом путем их визуализации. Струйка жидкости подкрашивалась и ее характер фиксировался при разных средних скоростях  (рис. 7.2).

В результате установлено, что до некоторой скорости  график функции  является прямой и потери энергии линейно возрастают с возрастанием скорости. Затем функция  становится квадратичной . Области разделяются критической скоростью .

Рис. 7.2. Опыты Рейнольдса

В области до критической скорости режим движения ламинарный (слоистый). Затем появляются поперечные пульсации и движение становится вихревым. Наконец, с ростом скорости процесс становится хаотическим и режим становится турбулентным.

Обобщение условий смены режима движения определяется безразмерным параметром, называемым числом Рейнольдса:

,                                        (7.14)

где – скорость потока; L – характерный размер; – кинематическая вязкость.

Критические точки перехода от одного режима движения к другому характеризуются нижним и верхним числами Рейнольдса:

 и ,                    (7.15)

причем

                           (7.16)

Формула Пуазейля

При ламинарном режиме движения касательное напряжение в круглой трубе при равномерном движении имеет вид

,                                     (7.17)

где – гидравлический радиус.

Распределение давлений в трубе подчиняется гидростатическому закону.

Касательные напряжения по закону Ньютона равны

,                                    (7.18)

поэтому с учетом предыдущего и интегрирования

.                              (7.19)

Из условия нулевой скорости на стенках трубы  получим

,                                 (7.20)

поэтому

.                           (7.21)

Эпюра скоростей в живом сечении будет параболоидом вращения, и максимум достигается на оси трубы

.                              (7.22)

Элементарный расход в кольцевом сечении равен

.                (7.23)

Интегрирование в пределах от  до  дает

.                   (7.24)

Средняя скорость потока

.                                    (7.25)

Потери напора определяются из условия , поэтому

.                                      (7.26)

Это формула Пуазейля.

Длина пути перемешивания

Из формулы Дарси-Вейсбаха (7.11) и формулы Пуазейля (7.26) получим

.                                  (7.27)

При турбулентном режиме закон Ньютона может быть модернизирован по Буссинеску

.                            (7.28)

Прандтль ввел понятие длины пути перемещения и дал формулу

,                               (7.29)

где l – осредненное значение пути перемешивания, аналогичное длине свободного пробега молекулы в кинетической теории газов.

В теории турбулентности вводится понятие динамической скорости

,                                (7.30)

где – касательное напряжение на стенке.

По Прандтлю длина пути перемешивания равна

,                                          (7.31)

где  – постоянная, поэтому распределение скоростей в турбулентном потоке равно

                                    (7.32)

Вопросы для самопроверки:

1. Какие существуют режимы движения жидкости? Охарактеризуйте их.

2. Как определить режим движения жидкости не визуально, а расчетным путем?

3. Как записывается основное уравнение равномерного движения жидкости?

4. Какие два вида потерь напора Вы знаете? Запишите формулы Дарси-Вейсбаха для их вычисления.

ЛЕКЦИЯ 8.ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ